Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
208: do2 = J j Gl7*''' бKi^vdHdH', (10.55>
где 6hik — бесконечно малые различия метрик двух близких позначенням Hik 3-мерных пространств; Gi^mf- суперметрический тензор. В этой формуле ohik выступает в роли, аналогичной роли dx? при определении интервала в римановом пространстве ds2 = g^dx^dxv.
Из общих соображений следует, что Gljk 1 должен удовлетворять следующим требованиям:
1) содержать б3 (а:—х'), т. е. связывать сопоставленные точки в двух римановых пространствах;
2) быть пропорциональным тензору четвертого ранга (чтобы do2 было скаляром); _
3) быть тензорной плотностью по У/г веса 1 (для обеспечения интегрирования по d3x);
4) быть симметричным относительно перестановки первой и второй пары индексов;
5) строиться из компонент 3-метрики hik. Всем этим требованиям удовлетворяет выражение
Gim' = (Vh/2w) 6*(x — xr) (hikhil + hilhki-2hi]'hkl) EEzGiWb3(X-Xr)y
(10.56)
где W — произвольная скалярная функция. Будем полагать W = = 1/то.
Ковариантные компоненты суперметрического тензора определяются из естественного условия
j Gilm^"n''k'vd*xff = JL (6? + 6$) б3 (X - xr). (10.57). Используя (10.56), отсюда находим:
GijkfV = (w/2Vh) б3 (X -xf) (hikhn + hnhkJ-ht/ім) = Gmlб4(X- *').
(10.58)
Легко видеть, что след суперметрического тензора равен:
J Gumrn- cr"nniid*x = 6б3 (X — хг). (10.59)
Эволюцию пространственных сечений нормальных систем отсчета при смещении вдоль соответствующих конгруэнций можно-представить в виде линий в суперпространстве. Каждой линии соответствует решение шести пространственно-спроектированных уравнений Эйнштейна (3.38). Оказывается, эти уравнения можно записать в виде геодезической с правой частью в пространстве Riem(3M) с суперметрикой GijkI (в дальнейшем будем ее использовать без б-функции).
Аналогично символам Кристоффеля в обычном римановом пространстве определим коэффициенты связности в lRiem(3M) по формуле
269: г Г = 4- G«» (^P- + Tl- ^l) ¦ {10-60)
2 *Ars \ 6/i77 6/imri ohj-s J
Тогда можно показать, что уравнения Эйнштейна (3.38) без источников представимы в виде
+дт (+дтhih) + ГЇІГ {+dThn) (+Orhmn) =
= - 4°G|*m»o (2тoVh 3R)/bhmn. (10.61)
Эти уравнения напоминают уравнения движения
(Px11Ids2 + 1? (dxa/ds) (dx^/ds) =
Правую часть (10.61) можно понимать как некую суперсилу, получаемую из плотности суперпотенциала 2то^hzR способом, похожим на обычный:
?ik = - Gikmnb (2т0Vh ^VfiAmn. (10.62)
Обобщенные импульсы (10.226) и плотность референционного гравитационного гамильтониана (10.266) можно более компактно записать через суперметрический тензор:
Pik = GikmnDmn; (10.63)
Ш = GihmJYn + T0 VF (10.64)
В работах Дирака и других авторов было предложено представить уравнения вторичной гамильтоновой связи в виде уравнений Гамильтона— Якоби. Введя для этого функционал Sf такой, что pik = dS/dhik, получим гравитационное уравнение Гамильтона — Якоби в виде
Gfftmn (dS/dhik) OSfdhmn + T0 Vh *R = 0, (10.65)
10.8. ПРИМЕРЫ СУПЕРПРОСТРАНСТВ
Рассмотрим несколько конкретных примеров 3-геометрий с симметриями, приводящими к конечной размерности суперпространств.
Суперпространство 3-м ерных геометрий с метриками [183]
d/a = A1 (1 + а2 sin 0 + O3 cos 0) (rfO2 + dtp2 + dSf). (10.66)
Здесь координаты 0, <р и я]з изменяются от 0 до 2зт, а аи а2, а3 — произвольные функции от x0f удовлетворяющие условиям ai(*°)>0; а\(х°)+а\ (х0)<1. Метрики (10.66) имеют топологию 3-тора.
Очевидно, что каждая из 3-геометрий рассматриваемого множества полностью характеризуется значениями трех параметров aim Следовательно, множество Riem(3M) таких геометрий изображается совокупностью внутренних точек неограниченного с одной стороны цилиндра в пространстве {?i, а2, а3} (рис. 21)..
Видно, что не все точки внутри цилиндра соответствуют различным геометриям. Метрики (10.66) сохраняют свой вид при преобразованиях координат Diff(3M):
Є' = Є + Є0; ф' = ф + %; = + (10.67)
210: Первое из этих преобразований соответствует преобразованиям параметров а2 и а3 [поворотам в плоскости (а2, а3)]. Это означает, что все точки на концентрических окружностях с центром на оси ах описывают одну и ту же 3-геомет-рию, т. е. представляют собой орбиты одной геометрии. Все орбиты один раз пересекают полуплоскость (аи а3), т. е. заштрихованная полуограниченная лента (0=^а3<1; fli>0) изображает 2-мерное суперпространство рассматриваемых 3-геометрий.
Суперпространство однородных изотропных миров Фридмана. Оно одномерно. Все пространственные сечения в сопутствующей системе отсчета характеризуются значением параметра а Ограничимся случаем закрытых моделей Фридмана, когда метрика 3-мерных сечений имеет вид (6.13а).
Кратко изложим гамильтонов формализм для закрытых моделей Фридмана в терминах параметра а(х°) [184]. Поскольку для метрики (6.13а) А=» = A3(Sin2^1)SinG, 3-мерная плотность лагранжиана имеет вид:
Рис. 21. Суперпространство геометрий с топологией 3-тора: 1 — внутренность цилиндра — многообразие Riem(3M); 2 — орбиты отдельных 3-геометрий; 3 — суперпространство 5 (3M)
