Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
203: +дт^ = 62fjoni±; (10.37)
+дтп± = ++дтщ± = — 8^/8?, (10.38)
которые эквивалентны уравнениям Эйнштейна (в вакууме): GlivIYl= 0; G^tf = 0.
Легко также записать в стандартном виде три пары поперечно-поперечных канонических уравнений, одна половина которых эквивалентна трем (поперечно-поперечным) уравнениям Эйнштейна Gin = 0, а другая совпадает с соотношениями между обобщенными скоростями и импульсами.
Таким образом, использование диадного метода позволяет наглядно интерпретировать еще три пары сопряженных переменных и соответствующие им канонические уравнения. Разумно предположить, что эти переменные не могут претендовать на роль динамических гравитационных переменных.
Конформная инвариантность и динамические переменные [1751. Для устранения из трех компонент
fcyi
у еще одной «лишней» переменной воспользуемся соображениями конформной инвариантности на 2-мерных поверхностях фронта волны. Из величин Y^ можно образовать две алгебраически независимые конформно-инвариантные величины: Y^=Y^n/'VllY^1II-= Vy Y^n (или Y|n = %/Vy ) и 0ДНУ конформно-неинвариантную Vy -j/^ll V^t1 И • Известно, что любые два 2-мерные римановы
пространства конформны друг другу, т. е. их метрики в соответствующих системах координат различаются только значением кон-
формного фактора: у= ехр (—2а) Ygri = ехр(2а) у^ • Можно высказать гипотезу, что в подходяще выбранных системах отсчета динамическими гра.витационными переменными являются две ком-поненты у и сопряженные им импульсы
Введем бесследные плотности тензоров D^ и (ft1*:
Ал = 0/VY ) I Dto + (1/2 KY6nD]; Sgfl = (Wy) [d^ + (1/2) Y^].
Вместо Y^n в качестве обобщенных координат будем рассматривать величины Y^n и InVY > а в качестве их скоростей выражения:
V = дт In Vy = — А = дту1ц = ~ 2(10.39)
Остальные переменные оставим без изменения. Новые импульсы тогда находим в виде
р^ = dXr^Jdv =X0Vh (2D-D)'y J PlY] = dXjdv^ = X0Vh D1 ч. j
Плотность гамильтониана, соответствующая новому набору переменных,
204: мр
dl
+ f-2Щ gl]-V^g3R.
(10.41)
Новые канонические уравнения можно записать следующим образом:
Канонические уравнения (10.42) приводят к трем уравнениям Эйнштейна соответственно в виде
Уравнения (10.43) эквивалентны соотношениям между импульсами и скоростями (10.40).
10.6. ПРИМЕРЫ ВЫДЕЛЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Как уже отмечалось, еще не построена квантовая теория гравитации ни в одном из подходов к природе гравитации, сформулированных в § 10.2. В рамках третьего (промежуточного) подхода удалось развить квантование слабых плоских гравитационных волн и разработать квантовые модели для нескольких точных волновых решений уравнений Эйнштейна. Покажем, что во всех этих случаях подтверждается сформулированная в предыдущем параграфе типотеза: динамическими гравитационными переменными являются две конформно-поперечные компоненты у^ и сопряженные им импульсы р^ш
Теория слабых плоских гравиинерциальных волн. Классическая (неквантовая) часть этой теории подробно рассмотрена в § 9.6, где были выделены динамические переменные q\ и Cj2t подвергающиеся квантованию в квантовом варианте теории. Остается показать, что эти переменные конформно-поперечны. Используя соотношения (9.42), имеем в первом приближении
Отсюда легко находим конформно-поперечные компоненты (в первом приближении):
дтры = дтр = — б#?гр/б (in Vy); (Ю.42)
= б^гр/бр6т]; дт (In Vv) - б^гр/бр. (10.43)
GiT1 = (Wy) [Gg4 + (1/2) Y64G] = 0; Gs^ G6ti - 0.
1 —(1/2) (а22+ а33).
(10.44)
(10.45)
205: что и требовалось показать. Канонически-сопряженные им импульсы (10.40) получаем в виде р\= (lf2)qh0; р2= (1/2)<72,0.
Квантовая теория слабых плоских гравиинерциальных волн фактически представляет собой квантовую теорию линейного тензорного поля второго ранга на фоне плоского пространства-времени (см. [164, 176]). Вторичное квантование компонент q\ и можно осуществить аналогично квантованию электромагнитного поля в плоском пространстве-времени. При этом следует позаботиться о правильной размерности плотностей гравитационного лагранжиана, гамильтониана и импульсов, т. е. осуществить переход
Жгр -> (1/2*)? ^rp->(1/2TifgCrp; -> (l/2xfpw (10.46)
где х = 8зт/г/с4. Перестановочные соотношения, как и в электродинамике, задаются в виде
[qs (X), рг (х')1 = і Msrb (х - х'), (10.47)
где 5, г = 1, 2. Так как теория слабого поля является линейной, можно использовать разложения компонент qs к Pr в интеграл Фурье:
<7* (X) =
Р* (X')
1
ехр (± ikx) ° ±
(2я)3/ 1
af (k) dPk\
уы.
_ f (±fep)exp(± ik'x')
4х(2я)3/2 J у^-
af(k')d8k\
(10.48)
где af (к) следует понимать как операторы рождения и уничтожения гравитонов двух типов. Подставляя (10.48) в (10.47), легко найти перестановочные соотношения между операторами:
аГ(к)а7(Ю
= (к) а7 (k') - aj (k') а7 (к) = 0; aj (к) at (k') — at (k') а7 (k') = = osro (к — к') 4хЙ - mlo8ro (к — к'), j
(10.49)
Существенно, что эти коммутационные соотношения содержат справа квадрат планковской длины Io=Hkfc3. На основе такой теории можно вычислять эффекты рождения, взаимного превращения и поглощения гравитонов и квантов обычной материи. (Обзор процессов, изучавшихся на базе квантовой теории слабого гравитационного поля, можно найти в работе [164].)
