Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
* Математики исследовали геометрии с более общими, нежели (1.6), видами метрики. Такие геометрии в литературе обычно называют финслеровыми [123}, Пока не ясна целесообразность применения финслеровых геометрий для описания физического пространства-времени. Заметим, что впервые обратил внимание sa возможность построения таких более общих геометрий Риман fl4, с. 18].
**Не будем пока обсуждать попытки Эйнштейна в последние годы жизни использовать антисимметричную часть метрики для построения единой теории гравитации и электромагнетизма (g„v <-> F v) [18, с. 615]. _ гі __ дх,а дх'У дх'у д~х'а дх'У ,
1^= axv ^ 1^ + w ^ go?
дх'а дх'$ дх1 ,а . д2х'а дх1
1 ^v = ~гг ~гтг "ГТГ J +
дхР дхv дх'0 dx^dxv дх,а
(1.15)
Из этих формул видно, что тензорный закон преобразования нарушается присутствием справа вторых производных. При линейных преобразованиях координат х,[Х = Co^v-Vv, где — const, «лишние» члены исчезают и символы Кристоффеля преобразуются, как тензоры.
Для любой точки А многообразия всегда можно выбрать такую систему координат {л/}, что в ней все компоненты символа Кристоффеля в точке А равны нулю. Легко убедиться с помощью формул (1.15), что подобный переход осуществляется следующим допустимым преобразованием координат:
= (^1-*?) + (1/2) (Пір)л (ха-хал) -4), (1.16)
где (Г?ф)л — постоянные величины, равные значениям символов Кристоффеля в точке А в системе координат [х}\ Xa — координаты точки А. Такую систему координат называют локально-геодезической.
Преобразование (1.16) примечательно еще тем, что значения компонент метрического тензора в точке А в системах координат {х} и {xf} совпадают. Воспользовавшись этим, можно сначала перейти в данной точке в локально-декартовую систему координат, а затем с помощью (1.16) в локально-геодезическую. В результате получим локально-инерциальную систему координат.
Нетрудно показать, что для любой геодезической в рассматриваемом многообразии можно выбрать такую систему координат, что все компоненты символа Кристоффеля во всех точках геодезической обращаются в нуль. Такая система координат называется геодезической.
1.5. ОПЕРАТОРЫ КОВАРИАНТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
Легко показать, что частные производные от тензорных величин не являются тензорами. Однако, учитывая трансформационный закон для символов Кристоффеля (1.15), частной производной можно сопоставить оператор, приводящий к тензорному результату
_ Da?. . . M-V • . . I Га o^? ¦ • • L r? Rclk • • • і
= ?>|Liv. . .; о ~--h і аал>м/у. ¦. ~t~ 1 oX^^v. . . ~Г . . .—
d^---n-----
-ГIaBll.:-YxvoBll-- . . . (1.17)
m
20 и называемый ковариантной производной тензора \\.
Операция ковариантного дифференцирования обладает следующими свойствами:
а) ковариантная производная от скаляров совпадает с частной производной, т. е.
Va? - дВ/дх°;
б) LVa№;; + ::) = v<A.; + vA:>
в) для ковариантного дифференцирования произведения тензоров (внешнего и внутреннего) справедливо правило Лейбница
vo №: Л:::) (\.Д: + :: ::);
C^ax11)
Hix^dxp)
Рис. 1. Параллельный перенос смещений
г) ковариантные производные от метрического тензора равны нулю, т. е. при ковариантном дифференцировании метрический тензор следует рассматривать как постоянную, которую можно выносить за знак дифференцирования.
Обсудим геометрический смысл ковариантного дифференцирования. Для этого введем понятие бесконечно малого параллельного переноса малых смещений или тензорных величин, причем это понятие будем рассматривать несколько шире рамок римановой геометрии.
Пусть смещение Sx^ соединяет близкие точки А и В с координатами Xix и Xli 4- бх^ соответственно (рис. 1). Возьмем третью точку С с координатами x^+dx^i^xli и dx^—величины одного порядка). Зададимся целью сопоставить смещению AB смещение CD такое, что (iCDf - бР <№ и т. е.
fir = K^dx%x^ (1.18)
где величины /(?, называемые коэффициентами связности (или связностью), являются важными характеристиками дифференциальной геометрии. Такое сопоставление называют параллельным\ переносом относительно /Ca?. Особо подчеркнем, что Ка$ В общем случае не обязаны быть симметричными.
Наложим на геометрию дополнительное условие сохранения Длины смещения при параллельном переносе:
линеино выражается через смещения
ds2AB = guv (A) Ox4xv = dscD = g^ (С)
(1.19)
20 Тогда, подставляя (1.18) в (1.19) и учитывая, что в первом приближении (Q = guv (A) + [dgllv (A)Idxrj] dx°, находим:
- dgjdx? + Ko^ .г + Ко,. ц = 0. (1.20)
Здесь все величины определены в точке А. Складывая три соотношения вида (1.20) с соответствующим образом переставленными индексами и знаками, получаем связь между символами Кристоффеля и коэффициентами связности:
Гцд;,а — (1/2) [(/CviLI ,а Kixv ,о) ~Ь (Kvo ,м, — Kov ,[Li) (^Cjlig.v Коц ,v)1-
(1.21>
Если коэффициенты связности симметричны, то они совпадают с символами Кристоффеля. Именно так обстоит дело в римановой геометрии = К°пх), где согласно (1.20) обращение в нуль ко-вариантной производной от метрического тензора имеет геометрический смысл сохранения длины интервала при параллельном переносе.
