Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
198: 2V-g\FlFi-yiFi) = -2{-V-gF'K)x, I (1020) 2 V=^r (D2 - +dTD) =-2(/ V-g D) д. j
В результате получим плотность гравитационного лагранжиана: ^rp = T0у/Г (D2 - DiftDifc + 3R). (10.21)
а) Координатный канонический формализм ОТО. Подчеркнем тесную связь канонического формализма с мо-надным методом задания систем отсчета в кинеметрической калибровке, для этого в качестве 10 обобщенных координат гравиинер-циальной системы будем использовать четыре компоненты їтм> (компоненты 4-скорости системы отсчета) и шесть компонент Hlk в кинеметрической калибровке [64, 72]*.
Обобщенными скоростями являются <0 и /1,0. Обобщенные импульсы, соответствующие Hik, находятся в виде
pik = dEjd (/$) = Vh (Dik + hikD). (10.22а)
Они совпадают с импульсами в теории Дирака. Скорости через импульсы выражаются следующим образом:
к[ко = - (2тЛ/Г) [pik + (1/2) hikp] -
- т>0 (/11'? + HlkKl) - T0^ (10.23а)
где р = —Htkpih = —2 y/i D. Видно, что в гравитационном лагранжиане (10.21) отсутствуют скорости т%. Эти скорости линейно входили в X0 = V—однако в результате добавления дивергентных членов (10.20) они были исключены, поэтому уравнения первичных связей опять имеют простой вид (10.10):
P» = dXrv/d( т?о) = 0. (10.24а)
Плотность координатного гравитационного гамильтониана построим обычно:
M1 = Pliт% + PihKо — Жгр + дивергентный член =
= W-VTT (ftft^ -T'P2) +
+ :3R+ ^r (2pfc,fc-Pi^fc), (10.25а),
* Координатный канонический формализм ОТО был развит в работах Дирака [169, 171], который в качестве основных обобщенных координат гравитационного поля использовал величины g^v (шесть компонент gih^—hih и четыре компоненты Затем канонический формализм исследовали Арно-
вит, Дезер, Мизнер [172], Уилер и др. [11] (за основные величины выбирали gih> N = 1/Vfa и Nf =g0i). Jl. Д. Фаддеев [173] в качестве основных переменных брал qik = (-g) (g0i gok - gik); X0 = l/goo V-g Ik = g0k/g™.
199: где дивергентный член равен —2 (р%)л . Эта плотность гамильтониана не является к. и. плотностью. В результате стандартных вычислений получаем, что шесть канонических уравнений
dpikJdx0 - - бM1Ibhik -> ^Rik - (1/2) gih*R = 0 (10.26а)
совпадают с шестью монадными уравнениями Эйнштейна (3.38) в кинеметрической калибровке (в вакууме). Другие канонические уравнения
dhikldx° = б M1Ibpik (10.27а)
приводят к соотношениям между обобщенными скоростями и импульсами (10.23а).
Вторичные уравнения связей находят из классических скобок Пуассона для первичных связей и плотности координатного гамильтониана (Pli. Mi] = 0. Они приводят к оставшимся четырем уравнениям Эйнштейна (3.36), (3.37) без правой части. Через канонические переменные вторичные уравнения связи записываются следующим образом:
Ip0, M1) = - SM1Ibx* = о -> Wtн = 2 у/Г G0V0
- (i/Vh) (?--PtkPikJ-Vh 9R = 0 (10.28а)
—гамильтонова вторичная связь;
\pst M1] = — bMjbx* = 0 Ms = 2 VhG0sZVg^ =
= 2Plk - Pihhik = 2 Vh v (Ps/УЛГ) - 0 (10.29а)
— продольные вторичные связи. Плотность координатного гравитационного гамильтониана можно представить в виде
Mi = Рцт.8 + (1/т°) Mh + (rs/x»)Ms, (10.30а)
где Mh и ^s не содержат переменных
б) Референционный канонический формализм ОТО [63—65]. Читатель, наверное, уже обратил внимание на некоторую непоследовательность координатного канонического формализма ОТО, в котором компоненты Xli являются обобщенными координатами, тогда как с позиций монадного описания систем отсчета их следует считать компонентами 4-скорости системы отсчета. Будем рассматривать Xli как обобщенные скорости. В качестве обобщенных координат тогда должны выступать пространст-венно-временные координаты x?. Действительно, координаты можно понимать как набор из четырех скаляров. (При изменении системы координат они просто заменяются новыми.) Тогда т? представляют собой производные Ли от координат
Я*» = ^v = TX = Л (10.31)
200: а параметром эволюции является интервал S=т вдоль мировых линий системы отсчета. Обобщенные импульсы, сопряженные x?, находятся обычным образом:
Pll = 6?гр/6ти = 2т0 V/TG^tv, (10.32)
ГДЄ ^(Liv — Rnv — (I/2)g^R — тензор Эйнштейна. Заметим, что
б^гр = djrp _ д dxYV _ ^jgrp__a ajgrp _
так как в <Жгр отсутствуют т% т. е. б<2гр/бт^ представляет собой действие оператора Эйлера — Лагранжа на что в ла-
гранжевой формулировке теории приводит к четырем уравнениям Эйнштейна (в вакууме) GtivTv = 0. Таким образом, в теории гравитации реализуется случай, когда (для вакуума) справедливы четыре первичные уравнения связи
P11 = 0. (10.246)
В качестве оставшихся обобщенных координат, как и в п. а), возьмем величины Hih. Их обобщенные скорости следует определить через монадные временные производные+дтА1 = — 2 D1 . Обобщенные импульсы, соответствующие hih, получаем в виде
PiK = dXrv/d (+dThik) = T0 Vh (.Dih + hihD). (10.226)
Обратные соотношения имеют более элегантный вид, нежели (10.236):
+?*'* = _ (2/т0 у/Г) [pik + (1/2) hikpl (10.236)
где р = — KikPih = — 2т0 Vh D.
Плотность референционного гамильтониана определим, как обычно:
