Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Vm (Я, (10.8)
называемые первичными связями. Для таких систем (как механических, так и теории поля) Дирак развил специальный канонический формализм [169], позволяющий уменьшать число независимых канонических переменных. Это осуществляется с помощью первичных уравнений связи (10.8) и соответствующих им вторичных уравнений связи, получающихся из классических скобок Пуассона для фm и функции Гамильтона H (q, р):
Irniq, Р) = {Фт. Я} = 0. (10.9)
Для нашей цели особо интересен случай первичных связей Pi—Ыq) =0. Обычно добавлением к лагранжиану соответствующим образом подобранного дивергентного члена такие первичные связи можно привести к виду
р, = 0. (10.10)
В электродинамике и ОТО первичные связи имеют вид (10.10). В таких случаях устраняется часть импульсов. Сопряженные им обобщенные координаты соответствуют произвольным функциям в общем решении.
Продемонстрируем дираковский канонический формализм на примере свободного электромагнитного поля [64, 65]. _
Плотность лагранжиана электромагнитного поля X = = — (У—gl4) /^ґ^запишем через монадные величины в кинеметрической калибровке:
2~э.м = - (т0 Vh,2) [-Hlk +дтАі+дтХ + 2hik+dTAi (Vft-Fh)A-
- hik (V1 - Fi) A (vft - Fk) A + (1/2) HihHik], (10.11)
где использованы проекции электромагнитных величин, введенные в (3.45), (3.46).
а) Координатный канонический формализм электромагнитного поля. В качестве обобщенных коорди-
196:нат электромагнитного поля выберем А и Akl а в качестве обобщенных скоростей используем дА/дх° и дЛи/дх°. Тогда три импульса имеют вид:
Pk = d% Jd (Akf0) - - IShEk9 (Ю.12а)
где Eh — напряженность электромагнитного поля. Отсюда выражаем скорости через импульсы:
Aii0 = — X0PiIVh + т0 (у* — Fi) А - X0XkAi ,k — hk0, Л. (10.1 За)
Скорости, соответствующие компоненте Af в (10.11) отсутствуют, поэтому имеем одно первичное уравнение связи типа (10.10)
р° = д%э.ш/д(А, о) = 0. (10.14)
Плотность координатного гамильтониана электромагнитного поля введем обычно (она имеет не к. и. вид):
M1 = P0Af0 + pkAkto - Жэ.м = P0A,о - (T0/2У/Г) pkpk +
+ (т0 Vh/4) HikHik + т0р* (у, - Fh) А - pk (X0X1Akj -Hi0M. (ЮЛ 5а)
Непосредственным вычислением находим, что половина канонических уравнений
Pk0 = -тх1Ь\ -> (+dr-D)Ek = (^i-Fi)Hki (10.16а)
совпадает с уравнениями (3.50) из второй пары уравнений Максвелла без источников в кинеметрической калибровке. Другая половина канонических уравнений
д.AkIdx0 = Mt1Ibpk (10.17а)
совпадает с соотношениями (10.13а).
В теории поля обобщением скобок Пуассона, как известно, является выражение
dB(q\ Pi) fR ^x ЬВ ьж OB ЬШ /1Л1Я.
—5JO— - {В, Ж} = - ^r-,- , (10.18)
где qi и Pi — канонически-сопряженные переменные поля. Согласно Дираку, подставляя сюда вместо B(qif р{) первичное уравнение связи (10.14), получаем вторичное уравнение связи
{р°, аёг\ = — ЬЖг1ЬА = т0У/Г vhEk = 0. (10.19а)
Это уравнение вторичной связи совпадает с оставшимся уравнением (3.49) из второй пары уравнений Максвелла (без источников)*.
* В работе [170] развит координатный канонический формализм электромагнитного поля в плоском пространстве-времени для обобщенных координат ли.
197:Уравнения, которые можно представить в каноническом виде, в дальнейшем будем называть динамическими [например, к ним относятся уравнения Максвелла (10.16а)]. Первая пара уравнений Максвелла не является динамической, а, как известно, выполняется тождественно при постулировании соотношения между Fliv и All.
б) Референционный канонический формализм электромагнитного поля. Выберем в качестве обобщенных скоростей монадные временные производные от спроектированных потенциалов: +dTA{ и +дтА. Сопряженные им три импульса тогда имеют вид:
Pk = дХэ.ы/д(+дт\) =—т0]/7Г Ek. (10.126)
Обратные соотношения находим в виде
4? = - PiIr0 Vh + (v, - Fi) А. (10.136)
Скорость, соответствующая А, по-прежнему отсутствует в (10.11), поэтому уравнение первичной связи (10.14) остается в силе.
Плотность референционного гамильтониана электромагнитного поля определим обычно
Ж2 = р° +дтА + P^drAk - Хэ,ы = р°+дтА - PkPkZr0 Vh +
+ Pk (v* -Fk) А + (т0 Vh /4) HihHik. (Ю. 156)
Уравнения (3.50) (без источников) из второй пары уравнений Максвелла опять можно представить как половину референцион-ных канонических уравнений:
+dTpk = — Ш2/6Аь -> — D)Ek = (уі — E1) Hki. (10.166)
Вторая половина референционных канонических уравнений
+dT\=№j6pk (10.176)
опять совпадает с соотношениями между импульсами и обобщенными скоростями (10.136).
Оставшееся уравнение (3.49) из второй пары уравнений Максвелла вновь имеет смысл вторичного уравнения связи и может быть представлено как
{р°, Ш2} = X0VhykEk = 0. (10.196)
10.4. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И КИНЕМЕТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ
Перейдем непосредственно к ОТО. В качестве исходной плотности гравитационного лагранжиана возьмем плотность скалярной кривизны Xq=У—g 4Rf где aR в монадном виде записано в (3.35^. Будем использовать кинеметрическую калибровку. Добавим к X0 дивергентные члены