Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Владимиров Ю.С. -> "Системы отсчета в теории гравитации" -> 77

Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.

Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации — М.: Энергоиздат, 1982. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): sistemotchetateorgrav1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 102 >> Следующая


Vm (Я, (10.8)

называемые первичными связями. Для таких систем (как механических, так и теории поля) Дирак развил специальный канонический формализм [169], позволяющий уменьшать число независимых канонических переменных. Это осуществляется с помощью первичных уравнений связи (10.8) и соответствующих им вторичных уравнений связи, получающихся из классических скобок Пуассона для фm и функции Гамильтона H (q, р):

Irniq, Р) = {Фт. Я} = 0. (10.9)

Для нашей цели особо интересен случай первичных связей Pi—Ыq) =0. Обычно добавлением к лагранжиану соответствующим образом подобранного дивергентного члена такие первичные связи можно привести к виду

р, = 0. (10.10)

В электродинамике и ОТО первичные связи имеют вид (10.10). В таких случаях устраняется часть импульсов. Сопряженные им обобщенные координаты соответствуют произвольным функциям в общем решении.

Продемонстрируем дираковский канонический формализм на примере свободного электромагнитного поля [64, 65]. _

Плотность лагранжиана электромагнитного поля X = = — (У—gl4) /^ґ^запишем через монадные величины в кинеметрической калибровке:

2~э.м = - (т0 Vh,2) [-Hlk +дтАі+дтХ + 2hik+dTAi (Vft-Fh)A-

- hik (V1 - Fi) A (vft - Fk) A + (1/2) HihHik], (10.11)

где использованы проекции электромагнитных величин, введенные в (3.45), (3.46).

а) Координатный канонический формализм электромагнитного поля. В качестве обобщенных коорди-

196: нат электромагнитного поля выберем А и Akl а в качестве обобщенных скоростей используем дА/дх° и дЛи/дх°. Тогда три импульса имеют вид:

Pk = d% Jd (Akf0) - - IShEk9 (Ю.12а)

где Eh — напряженность электромагнитного поля. Отсюда выражаем скорости через импульсы:

Aii0 = — X0PiIVh + т0 (у* — Fi) А - X0XkAi ,k — hk0, Л. (10.1 За)

Скорости, соответствующие компоненте Af в (10.11) отсутствуют, поэтому имеем одно первичное уравнение связи типа (10.10)

р° = д%э.ш/д(А, о) = 0. (10.14)

Плотность координатного гамильтониана электромагнитного поля введем обычно (она имеет не к. и. вид):

M1 = P0Af0 + pkAkto - Жэ.м = P0A,о - (T0/2У/Г) pkpk +

+ (т0 Vh/4) HikHik + т0р* (у, - Fh) А - pk (X0X1Akj -Hi0M. (ЮЛ 5а)

Непосредственным вычислением находим, что половина канонических уравнений

Pk0 = -тх1Ь\ -> (+dr-D)Ek = (^i-Fi)Hki (10.16а)

совпадает с уравнениями (3.50) из второй пары уравнений Максвелла без источников в кинеметрической калибровке. Другая половина канонических уравнений

д.AkIdx0 = Mt1Ibpk (10.17а)

совпадает с соотношениями (10.13а).

В теории поля обобщением скобок Пуассона, как известно, является выражение

dB(q\ Pi) fR ^x ЬВ ьж OB ЬШ /1Л1Я.

—5JO— - {В, Ж} = - ^r-,- , (10.18)

где qi и Pi — канонически-сопряженные переменные поля. Согласно Дираку, подставляя сюда вместо B(qif р{) первичное уравнение связи (10.14), получаем вторичное уравнение связи

{р°, аёг\ = — ЬЖг1ЬА = т0У/Г vhEk = 0. (10.19а)

Это уравнение вторичной связи совпадает с оставшимся уравнением (3.49) из второй пары уравнений Максвелла (без источников)*.

* В работе [170] развит координатный канонический формализм электромагнитного поля в плоском пространстве-времени для обобщенных координат ли.

197: Уравнения, которые можно представить в каноническом виде, в дальнейшем будем называть динамическими [например, к ним относятся уравнения Максвелла (10.16а)]. Первая пара уравнений Максвелла не является динамической, а, как известно, выполняется тождественно при постулировании соотношения между Fliv и All.

б) Референционный канонический формализм электромагнитного поля. Выберем в качестве обобщенных скоростей монадные временные производные от спроектированных потенциалов: +dTA{ и +дтА. Сопряженные им три импульса тогда имеют вид:

Pk = дХэ.ы/д(+дт\) =—т0]/7Г Ek. (10.126)

Обратные соотношения находим в виде

4? = - PiIr0 Vh + (v, - Fi) А. (10.136)

Скорость, соответствующая А, по-прежнему отсутствует в (10.11), поэтому уравнение первичной связи (10.14) остается в силе.

Плотность референционного гамильтониана электромагнитного поля определим обычно

Ж2 = р° +дтА + P^drAk - Хэ,ы = р°+дтА - PkPkZr0 Vh +

+ Pk (v* -Fk) А + (т0 Vh /4) HihHik. (Ю. 156)

Уравнения (3.50) (без источников) из второй пары уравнений Максвелла опять можно представить как половину референцион-ных канонических уравнений:

+dTpk = — Ш2/6Аь -> — D)Ek = (уі — E1) Hki. (10.166)

Вторая половина референционных канонических уравнений

+dT\=№j6pk (10.176)

опять совпадает с соотношениями между импульсами и обобщенными скоростями (10.136).

Оставшееся уравнение (3.49) из второй пары уравнений Максвелла вновь имеет смысл вторичного уравнения связи и может быть представлено как

{р°, Ш2} = X0VhykEk = 0. (10.196)

10.4. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ

ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И КИНЕМЕТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ

Перейдем непосредственно к ОТО. В качестве исходной плотности гравитационного лагранжиана возьмем плотность скалярной кривизны Xq=У—g 4Rf где aR в монадном виде записано в (3.35^. Будем использовать кинеметрическую калибровку. Добавим к X0 дивергентные члены
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed