Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = ехр (2у — 2i[)) (dxl — dp2) — ехр (2г|э) dz2 — р2 ехр (— 2гр) dtp2, (9.37)
где у и г|) — функции X0 и р, удовлетворяющие следующим уравнениям:
Видно, что уравнение для г|) (9.38) является хорошо известным линейным волновым, когда р, ф и г имеют смысл обычных цилиндрических координат. Его решение легко можно найти через цилиндрические функции; подставляя решение в (9.39), нетрудно отыскать соответствующую функцию у.
Рассмотрим откалиброванную кинеорометрическим образом диаду. Тогда
1 са[)
ф2
= 0;
(9.38)
дх% P Ф
(9.39)
181: T^ = {exp (Ij)-T); 0; 0; 0}; = f p2exp (—2ф) 0 \ . ї I» = (0; exp (ф — у); 0; 0}; ™ ^ 0 exp (2ф)/ ' F1 = F1 = Q1 = A1 = O; F = exp (if — у) (і|/ — yr); S = exp (ij) — у) (Y —?);
p2 ij) exp (—г|; — y) 0 j .
0 , ij) exp (3iJ) — y) j '
d,r = [P exP (- Y - (1 — РФ') 0 Ъ| 1 0 if'exp (3lJ) —Y)' ;
Dl4 =
K
(9.40)
где точка означает дифференцирование по X01 а штрих — дифференцирование по р. Отсюда ясно, что условия, налагаемые (7.43) на волновой вектор, выполняются, если &д = ехр(г|) — y)(tM,±^) в выбранной калибровке. Вследствие линейности (9.38) здесь можно одновременно рассматривать расходящуюся и сходящуюся волны. Нетрудно показать, что данная метрика удовлетворяет референционному критерию. Таким образом, метрикой Эйнштейна — Розена описывается продольно-несвободный гравиинерциальный волновой процесс.
9.6. СЛАБЫЕ ПЛОСКИЕ ГРАВИИНЕРЦИАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ
Как уже указывалось, именно случай слабых плоских гравиинерциальных волн представляет наибольший практический интерес для земного наблюдателя, находящегося в слабом гравитационном поле далеко от возможных космических источников гравитационного излучения.
Начнем с изложения теории слабого гравиинерциального поля (не обязательно волнового) в диадной , формулировке [158], причем, имея в виду дальнейшее ее применение к волновым процессам, воспользуемся кинеорометрической калибровкой. В качестве исходных выберем следующие представления контравариантных диадных составляющих метрического тензора:
T0-I-J- а00/2; T1 - aoi; I1=I- а11/2; Z0 = 0; 1
= ^= - E64-O64; Y0li=Ylli = OfJ ( ' '
где все ^v <С 1- Приведенные величины в дальнейшем будем рассматривать как основные переменные. Заметим, что в кинеорометрической калибровке эти 10 величин — все отличные от нуля в ней контравариантные компоненты Tm", и Y^v.
Для ковариантных компонент TiifIli и Yiliv имеем разложения
в бесконечные ряды. В первом приближении находим:
T0« 1 - а00/2; I0» a01; Z1« - (1 + ап/2); Ti = 0;}
0? 1| , її] і _л W-^zJ
Yoi- —а Yu ~ а > Yfcri = — Цц + et'; Zg = OJ
182: Диадные физико-геометрические тензоры в общем случае также представляются в виде рядов. Запишем их в первом приближении:
I оо -и 1 00 г 1 „и. 1 01
ах, F1« — ах, k^-j aX ft = y«,t;
D «(1/2) flIJ + a0}, A1» (1/2) ( a]l + а%
D6tl « (1/2) (o!2 - а% - 44; йы ^ (1/2) (а?? - ^ - а]?).
(9.43)
В этом приближении диадные производные от физико-геомет-рических тензоров следует рассматривать как частные производные, поэтому выпишем уравнения Эйнштейна в диадном виде (в
LlV
вакууме) с точностью до величин первого порядка по ar :
Gliv TjlTv « dLd + уф f - (1/2)*R = 0; (9.44)
Gtiv т* Г » д,Ъ - Уф (Аф + f ) = 0; (9.45)
Gtiv Ttl Yi « - у, Щ + УІФ- D)] + д,_ (A1 - qi) = 0; (9.46)
Gijlv 1Ц Iv « dTD + VfpFtp + (1 /2) *R = 0; (9.47
Cliv Г Yi « - Vn ( d? + Ti d) + дт (A1 + q%)+ щТ = 0; (9.48)
^vYi Vn = дтЪы-0^,+^ + (1/2) Iyl(Ftl-Zll)+ V4(Fl-Zi)I=O'
(9.49)
где ";¦ .,
2^r1 «(1/2) (atф + а%ф - - ^11). ,
Пусть имеет место слабый гравиинерциальный волновой процесс с волновым вектором k? = T? ± l? и пусть этот процесс является плоским по Кундту, т. е. выполняются условия (9.226) и (9.24). Такие процессы могут описывать широкий класс как свободных, так и продольно- и поперечно-несвободных гравиинерциальных волновых явлений. В частности, могут быть и процессы, ¦соответствующие метрике Переса.
Ограничимся рассмотрением свободных гравиинерциальных волновых процессов, соответствующих объемным волнам Бонди — Пирани — Робинсона (9.33). Тогда
х^ = {1; 0; 0; 0} -> а0« - 0; а0' = 0;1 fq пП)
1» = {0; 1; 0; 0}->ап = 0; Ci1Z = OJ
Остаются неизвестными три величины а^1 зависящие от координат X0 и хК Для диадных физико-геометрических тензоров .имеем:
F = D = O; Fl = Zi=^l = Al = O; 2^ti = O;] (д 5П Dltl = (1/2) dg4 = (1/2)0??. ) К - }
18 Из уравнений Эйнштейна (9.44—9.49) нетривиальными являются:
dLd = O-* (O2Idx2l) (а22 + я33) = 0; (9.44а)
OlD = 0-+ (O2Idx0Ox1) (а22 + а33) = 0; (9.45а)
дтЪ = 0 (O2Idx20) (а22 + а33) = 0; (9.47а)
O7Dlri — Ol dlX] = O-* (O2IOxI — O2IOx2) а1ц = 0. (9.49а)
Преобразованиями координат на 2-мерной поверхности фронта (разрешенными в пределах кинеорометрической калибровки) всегда можно добиться, чтобы а22+ а33 = 0. Тогда остаются лишь уравнения (9.49а), являющиеся волновыми для двух независимых комбинаций: а22—а33 и а23.
Таким образом, в слабом гравиинерциальном поле может реа-лизовыватъся свобоОный гравиинерциальный волновой процесс, описываемый Овумя независимыми поперечно-поперечными компонентами (2-мерной метрики): а= (1/2) (а22—а33); ? = a23.
