Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
где а — постоянная. Тогда
V=? P = (2а V=?/х) [- Vp- Fa + Г** Fb (Day + ^a)], (8 41)
где и Yyoc^ — проекции тензора Римана—Кристоффеля, определенные
в (3.40), (3.41).
В [5, с. 205] тензор Jrjxv был выбран в виде
^v =(1/х) RopIa?/0*, (8.42)
164:где
/Ja?nv = (1/2) RaVloEVvxo = (1/2) R»\0EaVKa; (8'43)
—xeH30p Леви-Чивиты (1.12); f 0^ —антисимметричный тензор. Используя тождества Бианки в виде Ra?ko;v Sma^ct = 0, находим для плотности суперэнергии гравиинерциального поля выражение
V=I P = (V=g /2х) TfxRatikaE^ ^ . (8.44)
Если опять в качестве /a? выбрать (8.40), то получим:
У=? P = - (a V~gl-x) ^av [YaxaV? F01 - Zap,a (D$ + Al) , (8.45)
где проекция тензора Римана—Кристоффеля определяется форму-
лой (3.39)
Заметим, что в литературе довольно широко обсуждается под названием суперзнергии гравитационного поля (или тензора суперэнергии Беля—Робинсона [139]) принципиально иная величина, построенная исключительно из компонент тензора Римана—Кристоффеля:
T*?»v= (1/2) [ I^WRfiiVa+ RfiWiTi^-(1/8) Ла|3ЯтстХр ЯТстЯ,р ] =
= (1/2) + ^a^vjf (8 46)
где использовано обозначение (8.43). Это выражение примечательно в двух соотношениях.
1. Тензор суперэнергии в последней форме имеет такой же вид, как и тензор энергии-импульса электромагнитного поля, записанный через тензор напряженности F?V:
T^= (1/4л) [ F^CTFvCT-( 1/4) ^vFxaFxo] - (1/4л) ( F^F\ + F^ctFvct), (8.47)
где использовано обозначение, аналогичное (8.43): Fa^ = (1/2) FaPjliv F^v.
2. Для тензора суперэнергии имеет место дифференциальный «закон сохранения». Чтобы его получить свернем тождества Бианки (1.32) с тензором Римана—Кристоффеля Rxao?# ? результате, имея в виду (8.46), получаем «закон сохранения» [8]
V|i7-a?M.v = 0. (8.48)
Конечно, (8.48), как и Vjll Tliv = 0, не означает сохранения какой бы то ни было величины. Трудно также сказать, как связан тензор суперэнергии с обычной энергией.
8.5. ДИАДНЫЕ И ТЕТРАДНЫЕ КОМПЛЕКСЫ ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ГРАВИИНЕРЦИАЛЬНОГО ПОЛЯ
Когда возникает необходимость одновременно рассматривать вопрос о сохранении энергии и импульса вдоль выделенного направления, целесообразно использовать диадный метод. Диада Zm" позволяет производить интегрирование во всем про-странственно-подобном 3-мерном сечении системы отсчета двух
165:скалярных величин: Tliv Tll Tv = P (O)—плотности энергии материи; T^v IllTv = P (1)—плотности импульса материи вдоль направления і. Если нужно рассмотреть вопрос об определении или о сохранении энергии и проекций импульса по всем трем ортогональным пространственным направлениям, то следует использовать полный тетрадный формализм. Плотности энергии и импульса материи тогда определяются выражением:
P (a) = T^gtl (а) gv(0)= T^g?(a) xv; (8.49)
Для получения аналогов законов сохранения энергии и проекций импульса в симметричном виде опять следует воспользоваться методикой, характерной для псевдотензорного подхода. Уравнение Эйнштейна записываются следующим образом:
[gv (а)/х] [R?V - (1/2) g^R] = Є* (а) - Є (а) = 7* (а), (8.50)
где , I Tyx(а) == Ttivgv (a); t* (а) . —'четыре вектора, называемых
комплексом энергии-импульса гравиинерциального поля; б^а)— совокупность векторов, представимых в виде: ь
e^(a)-^v(a);v, (8.51)
где (a) =—fV?(<%). Законы сохранения следуют из соот-
ношения ' '• '
= V? [T? (a) + t? И1 = (l/V11?) (д/дх11) {'V=J X
X [V (a) + f (a)]} (8.52)
и записываются' одинаково для всех индексов:
P' (a) = I V^S lP? (а) + t? (а)] d<v
Конечно, опять существует бесконечно много тетрадных комплексов энергии-импульса гравиинерциального поля. Они определяются видом антисимметричного тензора ^v (а). Рассмотрим некоторые из них.
Тетрадный комплекс Фролова [140] наиболее непосредственно обобщает дененовское определение энергии гравиинерциального поля; В качестве следует выбрать
SrM-V (а) (1/и) Igv (а),м, — g» (a).vl - (2/и) Cliv (а), (8.53)
где Cliv (а) — введенные ранее объекты неголономности. Очевидно,
что при а = 0 получаем gv (O) = Tv и (8.53) совпадает с (8.29).
Соответствующий тетрадный комплекс энергии-импульса имеет вид:
t» (а) =(2/х) VvCiv (a) = (1/х) Vv (A?«*)* - AV(c/), (8.54) где Д^аь — коэффициенты вращения Риччи. 166Тетрадный комплекс Родичева [141] соответствует выбору
(а) =(2/х) A(Ot)liv. (8.55)
Напомним, что коэффициенты вращения Риччи антисимметричны по последним двум индексам. Комплекс энергии-импульса
^(a) = (2/x)vvA(a)^. (8.56)
Иногда используют тетрадный комплекс [140, 142]
f (a) = (1/х) Vv [А (аГ + / (а) А% - gv (а) Д%]. (8.57)
Соответствующий тензор f Iivia) очевиден.
Не вдаваясь в подробности, укажем еще тетрадное обобщение векторов суперэнергии-импульса. По аналогии с (8.36) определим-, например,
^(a)=,(l/x)^va?/CT?(a), (8.58)
где в качестве fCT? (а) можно взять, в частности, выражения (8.53) или (8.55). В результате получим плотности четырех сохраняющихся величин:
VzzBP(V) = (V=zI/*) Rixv-VfJyti(V)--VgAO).
Перечисление тетрадных комплексов энергии-импульса гравиинерциального поля можно было бы продолжить*. Все они зависят от выбора системы отсчета. Нет ничего удивительного, что при переходе от одной системы отсчета к другой изменяются сохраняющиеся величины.