Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения (7.117) можно переписать с криволинейными универсальными индексами, вводя обозначение Ym" = Y (^) gu (^)> где ^m-(Jl) теперь определяют переход от криволинейной системы
152:
(7.115) координат к такой локальной декартовой, в которой матрицы у (к) имеют обычный вид. В результате получаем*:
Этот вид уравнений Дирака в искривленном пространстве-времени можно получить и при подходе Зоммерфельда — Мицкевича, когда W рассматривается как набор из четырех скаляров. Тогда следует перейти к так называемой у-матричной формулировке ОТО [124—126]. В качестве основных переменных в такой формулировке выбирают элементы Y-mstPhlU связанные с метрическим тензором соотношением
Величины YlLi(X) являются векторами, зависящими от координат. Ковариантную производную от них находим обычным образом:
Н. В. Мицкевич показал [8, 126], что в этом подходе уравнения Дирака в плоском пространстве-времени следует записывать в виде
Так как в декартовых координатах матрицы у (л) не зависят от координат, дополнительный член в квадратных скобках в плоском пространстве-времени пропадает. В искривленном. многообразии, как уже отмечалось, следует заменить частные производные кова-риантными. В результате получим уравнения (7.117а).
7.10. ФОРМАЛИЗМ ИЗОТРОПНЫХ ТЕТРАД НЬЮМЕНА — ПЕНРОУЗА И ЕГО СВЯЗЬ С ДИАДНЫМ МЕТОДОМ
В большой серии работ по анализу алгебраической классификации Петрова пространств Эйнштейна и нахождению новых точных решений уравнений Эйнштейна оказался чрезвычайно эффективным формализм (метод) изотропных тетрад Ньюмена—Пенроуза [91, 127]. В отличие от всех ранее изложенных -формализмов этот метод нацелен не на описание наблюдаемых и свойств систем .отсчета, а на анализ именно алгебраической структуры пространственно-временных многообразий и получение точных решений уравнений Эйнштейна. Эффективность метода объясняется тем, что тензор Римана—Кристоффеля (Вейля) обладает изотропными собственными векторами, в качестве которых можно выбрать векторы тетрады Ньюмена—Пенроуза. Таким образом, этот формализм можно органически связать со структурой пространства-времени.
Важно отметить, что в формализме Ньюмена—Пенроуза используются комплексные величины. Из четырех векторов тетрады Ньюмена—Пенроуза два являются действительными; им можно сопоставить временно-подобный вектор Tm" и пространственно-подобный вектор Zm" , которые выделяют привилегирован-
[— [y^djdx^ — A^ + (i/4) AmVqYmTvYg + mc/h] Y = O. (7.117а)
VM (х) YV (X) + Yv (X) Ym (X) = Zgliv (X) /.
VvYii = ^Vdxv- rMv^-
153: ную систему отсчета и пространственное направление диады. Именно по этой причине в данном параграфе метод Ньюмена — Пенроуза сопоставлен диадному методу. Представим рассматриваемый формализм, как и предыдущие, в виде четырех составных частей.
Алгебра. Изотропная тетрада {b^, п , m?, ^JjliJ состоит из двух действительных векторов b? и /Xjli и двух комплексно-сопряженных, которые можно построить из двух единичных пространственно-подобных векторов a? и Yjll:
m?=(l/y2)(a?-%);m? = (l/V2)(a^+ (7.118),
Метрический тензор ^fiv можно записать через тетраду Ньюмена—Пенроуза
§?v = iV nv + nu bv - mA - mv"V 119)
Векторы тетрады удовлетворяют следующим условиям квазиортогональностис;
iV= = m^ = V11 = b,xn'1==- mJ^ = 1;) а 120t V^ = Vntl = Vntt = Vwtt = 0- I
Легко видеть, что диадные составляющие метрического тензора можно связать с тетрадой Ньюмена—Пенроуза
^-0/1/2)(^ + ^); Z14 = (1/1/2)( V-Hfi); J
V = mHmV + Vv- J
В формализме Ньюмена—Пенроуза, как последовательном тетрадном формализме, оперируют со скалярами, полученными из тензоров проектированием на направления изотропных тетрад. Такие проекции тензора Римана—Кристоффеля и тензора Максвелла образуют набор скаляров Ньюмена—Пенроуза. Выпишем их.
Тензор Максвелла можно представить в виде трех независимых комплексных скаляров:
Фо = V ^v; ф2 =-F^nW-Л (7тї
=(1/2 ) ( >
При помощи формулы
^(Liva? = C|iwa? + Фм,а &v? ~~ Sva + ®v? 8a\i ~~ ®va +
тензор Римана—Кристоффеля можно выразить через скалярную кривизну R^—24А, тензор Вейля CpivaB и девиатор тензора Риччи ^Ojliv = = Rliv—(l/4)g Последним тензором сопоставлены пять комплексных скаляров:
П = - Cllvali bW barifi-, W1 = - Cixvaii I)» п* tfW5; W2 = - (1/2)C^m? ( b»nv ba rP - bк- tPnPnfi)-, } (7.123)
T8 = - <W? bV ^4 = - Cttwp nW n<W,
три действительных и три комплексных скаляра:
Ф00 = %v b^ ф01 = %vbV'> ф02 -
Ф10 = O^V; Фп = Ф^ Ф12 = Oliv nV- [ (7.124)
ф2о = VV; Ф'21 = ФМ" nllmV> ф22 = <V nlX nV-
Спиновые коэффициенты Ньюмен а-П е н р о у з а (физико-геометрические скаляры). Они соответствуют основным физико-геометрическим тензорам в предыдущих формализмах и определяются как независимые проек-
154: ции ковариантных производных векторов тетрады (коэффициентов вращения Риччи) на направления изотропных тетрад:
X = Я =
T = V = -ViV^v;
о = b^mV; H =
P = K = -Vv^v;
є = 0/2) (Vv bv-
7 = С/2) ( ^v - ZnwXZIv);
P = (!/2) ( V.v nV — mlJL.vm?mv);
а = С/2) (Vv nbnv — m?.vm?mvy
