Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
— [r2 + (n — a cos Є)2] de2. (5.59)
Г л а в a 6 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СЕЧЕНИЯ И ВРЕМЯ В КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
6.1. ОДНОРОДНЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
ОТО в принципе позволяет ставить и решать задачу описания всего физического мира — Вселенной как целого. При решении этой задачи, конечно, допускается экстраполяция наших представлений о природе пространства и времени далеко за пределы изученной области Вселенной. Однако изучение подобных задач необходимо, поскольку только это позволит ответить на вопрос, в какой степени такая экстраполяция правомерна, когда и каким образом следует изменить наши представления о природе мироздания.
Основу современной космологии составляют однородные изотропные космологические модели Фридмана [14, с. 320]. Сформулируем математически используемые предположения и общие свойства этих моделей.
111:Допустим, что материю Вселенной можно представить в виде сплошной среды наподобие пыли, когда в качестве отдельных і пылинок рассматриваются галактики или даже скопления галактик. Кроме того, положим, что можно пренебречь рядом индивидуальных (пикулярных) движений пылинок и выбрать сопутствующую материи систему отсчета, т. е. такую, в которой приборы системы отсчета в целом можно считать движущимися одинаково с материальной средой (пылинками). В этом случае движение среды описывается характеристиками 3-мерных пространственных сечений сопутствующей системы отсчета. Допустим также, что сопутствующая система отсчета нормальная (среда не вращается), т. е. Лцу^О. Тогда пространственно-временное многообразие допускает глобальное расщепление на совокупность пространственных сечений и время.
Условие изотропно'сти пространственных сечений уже обсуждалось при выводе метрики Шварцшильда (см. § 4.1). Оно означает наличие трех пространственно-подобных векторов Киллинга, соответствующих симметрии пространственных сечений относительно поворотов вокруг избранной точки. При этом можно выбрать такую хронометрическую (кинеметрическую) систему координат, что см. (4.6)]
ds* = r%dx20 — [/I11 (Jfi9 Xі) dx\ + b2 (X09 х1) (dB2 + sin2 Bdcp2)]. (6.1)
Условие однородности означает существование еще трех линейно-независимых векторов Киллинга, соответствующих симметрии пространственных сечений относительно сдвигов из одной точки в любую другую. Таким образом, все точки каждого пространственного сечения сопутствующей системы отсчета равноправны, т. е. метрику можно записать в виде (6.1) с центром в любой точке.
Из уравнений Киллинга (4.4), используя линейную независимость трех векторов Киллинга 1{S), находим, что Fi = T0T0fl = О, т. е. система отсчета синхронная. Следовательно, то зависит лишь от координаты х°. Из проекций уравнений Киллинга (4.2) следует, что в однородных пространственных сечениях компоненты 3-мерного метрического тензора одинаково зависят от X0y т. е. Iiih = a (x°)bik(xs). Преобразованиями координат х/0=х/0(х0); Xn = =xfl(x1)9 не меняющими в использованной калибровке систему отсчета, метрику (6.1) можно привести к виду
ds2 = a2 (jfi) {dx-1 — [dx\ + b2 (Xі) (dB2 + sin2 Єdcp2)]}, (6.2)
т. е. компоненты составляющих метрического тензора:
т0 - 1/т° - а (х°); A11 = 1 /А11 = а2 (jfi); )
H22 = 1/А22 = a2 (jfi) Ъ2 (х1); A33 - l/h33 = (6.3)
= а2 (х°) b2 (х1) sin2 6. J
112:Отсюда следует, что компоненты тензора скоростей деформации' представляются следующим образом:
Dik = (1/2) T0Affte0 - (а/а2) Aife; D = - Dikhik = - За/а2, (6.4>
где а = da/dx0.
Возьмем уравнения Эйнштейна в виде
R^ = *f[7Vv - (1/2) - Agftv,
где в общем случае
Tllv = (Р + рс2) MmPv — Pgjlv; (6.5)»
р — давление среды; р—плотность материи в сопутствующей системе отсчета. Поскольку мы уже выбрали сопутствующую систему отсчета, Ui=Ii = 0 (материя неподвижна, «вморожена» в. пространство). Используя (6.3), получаем необходимые проекции, тензора энергии-импульса материи:
TVv^TV = рс2; 7VvA% - phikl j
T = Tlivg^ = рс2 _ Зр. Tjfc + (1/2) A^T = (1/2) (рс* - р) Aifc;. (6.6> ^tv [Tliv - (1/2) ^vT] =(\/2)(рс2 + Зр). J
Чтобы записать уравнения Эйнштейна в монадном виде, вычислим производные от тензора скоростей деформаций:
VkDil = (а/а2) ^kHil - 0; ykD = 0;
Q7Dlk = (а/а3) Aife; dTD = - (З/а4) (аа - 2а2).
Используя формулы (6.4), (6.6), (6.7), находим уравнения Эйнштейна (проекции, образованные посредством Tm-Tv и af1aft соответственно) в вРїде
— (З/а4) (аа — а2) = (х/2) (рс2 + Зр) — Л; (6.8)/
(1/а4) (аа + а2) Aife + 3Rik = (х/2) (рс2 - р) Aife + Ahik. (6.9),
Остальные проекции уравнений Эйнштейна тождественно равны нулю.
Из уравнений (6.9) следует важное свойство однородных изотропных космологических моделей: тензор Риччи 3Rik 3-мерных: пространственных сечений сопутствующей системы отсчета пропорционален метрическому тензору Hih этих сечений.
6.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СЕЧЕНИЯ ПОСТОЯННОЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ, ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ И НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
Прежде чем решать уравнения Эйнштейна (6.8), (6.9), проанализируем однородные изотропные пространственные сечения, опираясь на их установленное свойство