Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
W^rgIr ± (а/г) У1~Ї2?}2
mGc*
1 — (3/2) re/r ± (alr)Y2rglr
(5.32)
Как легко убедиться, при а = 0 отсюда следует, что E2;
(lj2)rg/r]t а это соответствует известному выражению для интеграла энергии, если учесть, что в ньютоновой теории квадрат линейной скорости на круговой орбите vi = kM/r.
103: Для нахождения константы а± следует сопоставить (5.18) и (5.26), откуда получаем:
g±=+A-|/J + V^ , (5.33)
~ т0с2 |/ 2г [(Г — rg) ± a Vv^rI
где ?+ определяется формулой (5.32).
Эффект Мицкевича в кинеметрической по отношению к координатам (5.1) системе отсчета. В этом случае также различны периоды обращения частиц, вращающихся по одинаковым круговым орбитам в противоположные стороны. Учитывая формулы (5.6) — (5.9), как в предыдущем случае, находим:
T - 2п _Т/г2a2 rgr (r+nl/sl) /534)
* с V(V2) fr + (°2/'2) + 'g)] \ ~ V 2r J
Таким образом, в кинеметрической системе отсчета частица, движущаяся в направлении вращения центрального источника, опять имеет больший период, т. е. отстает. Разность периодов
7+ — Т_ = 4па Vr (г2 + а2 — /у) /сУг (г2 + а2) + rga2 (5.35
в основном приближении, как и в хронометрической системе отсчета, не зависит ни от радиуса орбиты, ни от массы центрального источника, ни от гравитационной постоянной. Различия в эффектах дрейфа точки встречи частиц в рассматриваемых двух системах отсчета проявляются в более высоких порядках по rg/r.
5.4. ЭФФЕКТ ШИФФА
Рассмотрим эффект, предсказанный Шиффом [89]. Суть его состоит в том, что ось гироскопа, выведенного спутником на круговую орбиту вокруг вращающегося источника гравитационного поля (например, вокруг Земли), в системе отсчета спутника будет прецессировать с некоторой угловой скоростью й, зависящей от радиуса R круговой орбиты гироскопа, его орбитальной скорости V и параметров центрального источника (массы Mf угловой скорости вращения со и момента инерции /). Заметим, что в теории гравитации Ньютона сферический гироскоп прецессировать не должен.
Угловую скорость прецессии оси гироскопа найдем, опираясь на уравнения Матиссона — Папапетру в монадном виде (3.61) — (3.63) (с дополнительным условием Кориналдези) [67]. Более того, будем считать, что орбита движения центра спутника (представляющей точки) задана, так что используем лишь уравнение (3.63). Задачу будем решать в четыре этапа.
1. Проанализируем и решим уравнение Матиссона — Папапетру (3.63) в самом общем виде в системе отсчета, сопутствующей представляющей точке гироскопа. Заметим, что таких систем
104: отсчета бесконечно много. Общим свойством этих систем является лишь то, что их конгруэнциям принадлежит мировая линия представляющей точки.
2. Выразим угловую скорость прецессии оси гироскопа в сопутствующей системе отсчета через параметры произвольной второй системы отсчета (угловую скорость вращения, ускорение и относительную скорость).
3. Конкретизируем вид сопутствующей гироскопу системы отсчета. Выберем жестко вращающуюся систему.
4. Конкретизируем вторую систему в используемой метрике Keppa (выберем хронометрическую систему отсчета в координатах Бойера — Линдквиста). Тем самым угловая скорость прецессии оси гироскопа в сопутствующей жестко вращающейся системе отсчета окажется выраженной через скорость этой системы относительно одной из наиболее употребительных систем отсчета в метрике Keppa и параметры центрального источника.
1. В сопутствующей системе отсчета v° =0, следовательно, уравнение Матиссона — Папапетру (3.63) существенно упрощается:
dS^/dT = dTS^v = - S^v (А\ — Щ — Svx (А\ -D\\ (5.36) о о о \о о J о \о о J
Здесь индекс нуль снизу означает, что величины взяты в сопутствующей системе отсчета. Введем длину вектора кинетического
момента (тензора спина) S = Л/ ^juct^v?S^ S ^ » так что
о г о о
(1/2) (d/dx) S2 = SiivOtSixv -DliaS^Safi - DvpSavSap. (5.37)
о о о ооо ооо
Умножая (5.36) внутренним образом на Sluiv и учитывая (5.37), получаем, что в сопутствующей системе отсчета длина тензора кинетического момента не меняется. Переходя к сопряженному
вектору кинетического момента S^ = (1/2) ^aPS ft , находим,
о Op
что все изменение 5м" сводится к его прецессии с угловой cko-
O
ростью
?2^ = -(1/2)^^. (5.38)
О OO
Следовательно, угловая скорость прецессии оси гироскопа в сопутствующей системе отсчета равна по значению и противоположна по знаку угловой скорости вращения сопутствующей системы отсчета.
2. Соотношение между тензорами угловых скоростей вращения двух систем отсчета описывается формулой (3.126). Перейдем от
105: тензора угловой скорости к сопряженному вектору Aix =' = (1/2) e^Aa?. Умножая соотношение (3.126) на
— (е^/2 V^) %1 = — (е^м«э/2 Y^g) (ті + xh)tVT=x? и учитывая (5.38), находим:
Qf1 = (1/Y2) [- Л" + Л4Ч + (%*/2) eWukua,t -о
- (1/2) ^,р - (1/2) e^vK (Fp - O7Vfi)], (5.39)
где у = "1/1 — v2 =V 1 —hnvvW. Еще раз подчеркнем, что
в формуле (5.39) пока не конкретизированы ни метрика, ни две сопоставляемые системы отсчета.
3. Из сопутствующих систем отсчета для круговой орбиты выберем такую, которая в метрике Keppa имеет компоненты скорости V^ ==—Нз(о0 относительно хронометрической системы отсчета, соответствующей координатам Бойера — Линдквиста. Здесь озо — постоянная угловая скорость кругового орбитального движения спутника с гироскопом. Используя формулы для составляющих метрического тензора в метрике Keppa (5.3), находим компоненты скорости
