Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Владимиров Ю.С. -> "Системы отсчета в теории гравитации" -> 37

Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.

Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации — М.: Энергоиздат, 1982. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): sistemotchetateorgrav1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 102 >> Следующая


= qjr2 1/V - E (1) = EiHi (1) = q/r2. (4.85).

Метрика Фишера [82] — статическое сферически-симметричное совместное решение уравнений Эйнштейна и Клейна—Фока для безмассового скалярного поля *. Решение можно получить примерно таким же образом, как и предыдущие метрики. Выпишем окончательный результат [83]

ds2 = (Z~Z2) dx2 _ -JZ- dz2 _ r2 (z) (dQ2 sin2 е^ф2) f

Г2 (Z — Z1) (Z — Z2)

где r2(z) = (z-z1)l-a(z-z2)l+a; zlt2=ii-±yv2 + kQ* ; a- | (Z1+Z2)/(Z1-

— z2) Ii M- —постоянная интегрирования (обычно полагают [г = —>g/2); Q — скалярный заряд источника.

Метрика Коттлера [84] обобщает метрику Шварцшильда на случай отличной от нуля космологической постоянной:

ds2 = (1 — 2kM/c2r + Ar2/3) dx2 — dr2/{ 1 — 2kM/c2r + Ar2/3) — r2 {d№ + sin2 Єс?ф2)..

(4.87)>

Метрика Вайдья [85] представляет собой простейшее обобщение метрики Шварцшильда на случай 'Наличия в пространстве-времени высокочастотного излучения (сферически-симметричного):

ds2 = [ 1 — 2kM (и)/с2г + Ar2/3] du2 + 2du dr — г2 (<Ю2 + sin2 Є dcp2), (4.88)'

* В работе [83] изучено также статическое сферически-симметричное совместное решение уравнений Эйнштейна, Максвелла и Клейна—Фока для безмассового скалярного поля.

95> тде u=x0—г — запаздывающее время; M(и)—масса, зависящая от и. Метрика Вайдья является решением уравнений Эйнштейна

^mv - (1/2) SllvR + Agliv = (8nk/*) PkllHvy (4.89)

где k^— изотропный вектор распространения излучения; P — плотность потока энергии в системе отсчета с 4-скоростыо Ttx такой, что Ai14T^=I. Правая часть представляет собой усредненный тензор энергии-импульса высокочастотного излучения.

Глава 5 НЕКОТОРЫЕ ЭФФЕКТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХ МЕТРИКАХ

5.1. МЕТРИКА KEPPA

Рассмотрим второе по практической важности (после метрики Шварцшильда) точное решение уравнений Эйнштейна — метрику Keppa [14, с. 208]. Это решение описывает метрику, создаваемую (в вакууме) вращающимся центральным электрически нейтральным телом. Вывод этого решения довольно громоздок, поэтому запишем его сразу в окончательном виде в наиболее часто используемых координатах Бойера — Линдквиста

f ГдГ \ о г2 4- a2 cos2 6

ds2 = ( 1 — -Ї-Г-4—dxl — !TT1^-dr2 — (г2 + a2cos26) dB2 —

\ г2 +а cos2 6/ г2 + а2 — rgr v 1 '

( Гдга2 sin2 6 \ 2гйга sin2 6 „

-Г + «2 + ^ + COS2 е J Si"2 9rftP2 + .4 * COS2 Є dx^ (5Л)

тде г, е, ф — сферические координаты. Это пространство-время характеризуется двумя векторами Киллинга: = 6?; ?<з) = 63 , соответствующими стационарности и аксиальной симметрии.

Проанализируем смысл двух входящих в метрику констант: rg и а. Легко видеть, что при а = О метрика Keppa (5.1) переходит в метрику Шварцшильда (4.20) в координатах кривизн. Отсюда -следует, что rg = 2kMjc2 определяется массой центрального источника. При rg = О метрика (5.1) описывает плоское пространство-время.

Из сравнения метрики' Keppa при малых а с приближенным решением Лензе — Тирринга [86], характеризующим метрику вокруг медленно вращающегося тела с моментом количества движения Sft

ds2 - (1 — 2kMjc2r) dx20 — dr2Kl — 2Ш/сЧ) — r2 (d02 + sin2 0 d(P2) +

+ (4m/c3r) sin2 6 dx0dy, (5.2)

следует a = mjcM. B (5.2) центральное тело вращается вокруг оси г. Kepp полагал а= (2/5)со/?2/с, где (о — угловая скорость вращения; R— радиус сферического тела.

Легко видеть, что метрика (5.1) инвариантна относительно одновременного отражения времени и изменения знака со, т. е. х0—>—х°; а->-—а. Это также подтверждает справедливость отождествления а с физической величиной, пропорциональной моменту импульса.

Рассмотрим физико-геометрические тензоры в двух системах отсчета.

Хронометрическая система отсчета, соответствующая координатам Бойера — Линдквиста. В этой системе отсчета монадные составляющие метрического тензора имеют вид:

^ = ^0

Hh

yi-rgr/p* ?

А~

О р2



/j _ чг

rpra sin2 6

P2 ' P2Vl- /у/р2

/ ^ о

Jk

і — о

р2 1 о —

\

о о

P2A

sin2 8

P2

\

О о

о о

P2 — гёг P2A sin2 6

/

(5.3)

где использованы обозначения: р2 = r2 + a2cos20; А = г2 + а2 — rgr. По формулам § 3.5 вектор ускорения находим в виде

г& (р2 — 2г2) 2р2 (р2 - rgr)

F9 =

rgra2 sin 26 202 (р2 _

Z73-O, (5.4)

что соответствует в данной системе отсчета наблюдаемым ускорениям в радиальном и меридиональном направлениях

F1A1(I)

rg(p2 —2г2)УД

2р3 (P2-V)

F6 = F#(2) =

rgra2 sin 26 2 (р2 — rgr) р3

(5.4а)

Тензор угловой скорости вращения имеет компоненты: rgu (р2 — 2r2) sin2 6

A13 —

2р (p2-rgr)3

А2з —

rgraA sin 26

2р (P2-Tgr)3^

(5.5)

Тензор скоростей деформации Dik = Oi так как данная хронометрическая система отсчета является киллинговой.

Кинеметрическая система отсчета, соответствующая координатам Бойера — Линдквиста. В ней составляющие метрического тензора

4 Зак 1152

97 уг



Ур2д

hm =

д О

О

О

A1 sin2 Є



I-р2

Vp2AA1

о

jk

О — о

P2 о о

(5.6)

A1 sin2 Є '

где A1 = р2 (г2 + a2) + rgra? sin2 0. Используя формулу (3.127) для скорости движения кинеметрической системы отсчета относительно хронометрической в одной и той же системе координат, находим, что новая система отсчета движется относительно старой (хронометрической) по концентрическим окружностям в широтном направлении со скоростями
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed