Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
= qjr2 1/V - E (1) = EiHi (1) = q/r2. (4.85).
Метрика Фишера [82] — статическое сферически-симметричное совместное решение уравнений Эйнштейна и Клейна—Фока для безмассового скалярного поля *. Решение можно получить примерно таким же образом, как и предыдущие метрики. Выпишем окончательный результат [83]
ds2 = (Z~Z2) dx2 _ -JZ- dz2 _ r2 (z) (dQ2 sin2 е^ф2) f
Г2 (Z — Z1) (Z — Z2)
где r2(z) = (z-z1)l-a(z-z2)l+a; zlt2=ii-±yv2 + kQ* ; a- | (Z1+Z2)/(Z1-
— z2) Ii M- —постоянная интегрирования (обычно полагают [г = —>g/2); Q — скалярный заряд источника.
Метрика Коттлера [84] обобщает метрику Шварцшильда на случай отличной от нуля космологической постоянной:
ds2 = (1 — 2kM/c2r + Ar2/3) dx2 — dr2/{ 1 — 2kM/c2r + Ar2/3) — r2 {d№ + sin2 Єс?ф2)..
(4.87)>
Метрика Вайдья [85] представляет собой простейшее обобщение метрики Шварцшильда на случай 'Наличия в пространстве-времени высокочастотного излучения (сферически-симметричного):
ds2 = [ 1 — 2kM (и)/с2г + Ar2/3] du2 + 2du dr — г2 (<Ю2 + sin2 Є dcp2), (4.88)'
* В работе [83] изучено также статическое сферически-симметричное совместное решение уравнений Эйнштейна, Максвелла и Клейна—Фока для безмассового скалярного поля.
95>тде u=x0—г — запаздывающее время; M(и)—масса, зависящая от и. Метрика Вайдья является решением уравнений Эйнштейна
^mv - (1/2) SllvR + Agliv = (8nk/*) PkllHvy (4.89)
где k^— изотропный вектор распространения излучения; P — плотность потока энергии в системе отсчета с 4-скоростыо Ttx такой, что Ai14T^=I. Правая часть представляет собой усредненный тензор энергии-импульса высокочастотного излучения.
Глава 5 НЕКОТОРЫЕ ЭФФЕКТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХ МЕТРИКАХ
5.1. МЕТРИКА KEPPA
Рассмотрим второе по практической важности (после метрики Шварцшильда) точное решение уравнений Эйнштейна — метрику Keppa [14, с. 208]. Это решение описывает метрику, создаваемую (в вакууме) вращающимся центральным электрически нейтральным телом. Вывод этого решения довольно громоздок, поэтому запишем его сразу в окончательном виде в наиболее часто используемых координатах Бойера — Линдквиста
f ГдГ \ о г2 4- a2 cos2 6
ds2 = ( 1 — -Ї-Г-4—dxl — !TT1^-dr2 — (г2 + a2cos26) dB2 —
\ г2 +а cos2 6/ г2 + а2 — rgr v 1 '
( Гдга2 sin2 6 \ 2гйга sin2 6 „
-Г + «2 + ^ + COS2 е J Si"2 9rftP2 + .4 * COS2 Є dx^ (5Л)
тде г, е, ф — сферические координаты. Это пространство-время характеризуется двумя векторами Киллинга: = 6?; ?<з) = 63 , соответствующими стационарности и аксиальной симметрии.
Проанализируем смысл двух входящих в метрику констант: rg и а. Легко видеть, что при а = О метрика Keppa (5.1) переходит в метрику Шварцшильда (4.20) в координатах кривизн. Отсюда -следует, что rg = 2kMjc2 определяется массой центрального источника. При rg = О метрика (5.1) описывает плоское пространство-время.
Из сравнения метрики' Keppa при малых а с приближенным решением Лензе — Тирринга [86], характеризующим метрику вокруг медленно вращающегося тела с моментом количества движения Sft
ds2 - (1 — 2kMjc2r) dx20 — dr2Kl — 2Ш/сЧ) — r2 (d02 + sin2 0 d(P2) +
+ (4m/c3r) sin2 6 dx0dy, (5.2)
следует a = mjcM. B (5.2) центральное тело вращается вокругоси г. Kepp полагал а= (2/5)со/?2/с, где (о — угловая скорость вращения; R— радиус сферического тела.
Легко видеть, что метрика (5.1) инвариантна относительно одновременного отражения времени и изменения знака со, т. е. х0—>—х°; а->-—а. Это также подтверждает справедливость отождествления а с физической величиной, пропорциональной моменту импульса.
Рассмотрим физико-геометрические тензоры в двух системах отсчета.
Хронометрическая система отсчета, соответствующая координатам Бойера — Линдквиста. В этой системе отсчета монадные составляющие метрического тензора имеют вид:
^ = ^0
Hh
yi-rgr/p* ?
А~
О р2
/j _ чг
rpra sin2 6
P2 ' P2Vl- /у/р2
/ ^ о
Jk
і — о
р2 1 о —
\
о о
P2A
sin2 8
P2
\
О о
о о
P2 — гёг P2A sin2 6
/
(5.3)
где использованы обозначения: р2 = r2 + a2cos20; А = г2 + а2 — rgr. По формулам § 3.5 вектор ускорения находим в виде
г& (р2 — 2г2) 2р2 (р2 - rgr)
F9 =
rgra2 sin 26 202 (р2 _
Z73-O, (5.4)
что соответствует в данной системе отсчета наблюдаемым ускорениям в радиальном и меридиональном направлениях
F1A1(I)
rg(p2 —2г2)УД
2р3 (P2-V)
F6 = F#(2) =
rgra2 sin 26 2 (р2 — rgr) р3
(5.4а)
Тензор угловой скорости вращения имеет компоненты: rgu (р2 — 2r2) sin2 6
A13 —
2р (p2-rgr)3
А2з —
rgraA sin 26
2р (P2-Tgr)3^
(5.5)
Тензор скоростей деформации Dik = Oi так как данная хронометрическая система отсчета является киллинговой.
Кинеметрическая система отсчета, соответствующая координатам Бойера — Линдквиста. В ней составляющие метрического тензора
4 Зак 1152
97уг
Ур2д
hm =
д О
О
О
A1 sin2 Є
I-р2
Vp2AA1
о
jk
О — о
P2 о о
(5.6)
A1 sin2 Є '
где A1 = р2 (г2 + a2) + rgra? sin2 0. Используя формулу (3.127) для скорости движения кинеметрической системы отсчета относительно хронометрической в одной и той же системе координат, находим, что новая система отсчета движется относительно старой (хронометрической) по концентрическим окружностям в широтном направлении со скоростями