Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Конгруэнцию временно-подобных мировых линий системы отсчета можно охарактеризовать четырьмя скалярами:
Rl = -F11F*;
е = (1/2) X^ = (1/2) HlivDllv = - (1/2) D-QP = (1/4) (Tltfv-Tvlll) т* V + (Щ Ri = (1/2) AllvAliv; \ (3.16) а8 = (1/4) (тц; V + tv; „) t^ V - є2 + (1/4) R2I = = (1/2)1^^-(1/2)^].
¦ определяющими соответственно первую кривизну, растяжение, вращение и сдвиг конгруэнции.
Вывод об указанном физическом смысле тензоров FJj,, Avivy Dviv подкрепляется также интерпретацией отдельных членов в уравнениях геодезической, записанных в монадном виде Для записи уравнений геодезической учтем формулу
.52 1? = {L% + ft?.?) - Tl» (ЛаР - Dap + FaTp) +
+ Ftlтатр + (хаА% + трЛУа) - тат%. (3.17)
где L^? = (1/2) Zipi (? a ,? + ,а—^a? ,—ТрЄХМЄрНЬІЄ «СИМВОЛЫ
Кристоффеля». Кроме того, введем ряд 3-мерных обозначений:
-Wdxv
Xadx«
dxv dx
ds = dx 1/1 — u2
^dXa
m = mn
ds
-m<fi*
dxa ds
"1/1-u2
= rrw^
— пространственные компоненты скорости частицы;
— динамическая масса частицы (т0— масса покоя);
— компоненты 3-импульса.
(3.18)
После несложных выкладок легко выразить 4-мерные скорости и ускорения через 3-мерные:
и» = dx»/ds du*
т
ds
(xv Jr vv)rV 1 — о2;
= , 1 (+ X*— + mW + PaT^Y УI — v2\dx dx H -aJ
(3.19)
Подставляя формулы (3.17) — (3.19) в уравнение геодезической (1.13) и проектируя его посредством X^ и Itflf окончательно получаем:
dm/dx = P^Fix — Da?pau?; (3,20)
-%(dp/dx-N№) +IZtfftfi = — mFv — 2p&(ЛУ? -flg). (3.21)
где N^ = x^? — T^? — нетензорная величина.
В следующем параграфе будет показано, что в (3.21) слева стоит тензорная величина, которую следует понимать как монад-ную временную производную от импульса. Сопоставим (3.21) с уравнением движения точки в неинерциальной системе отсчета в ньютоновой механике.
{d/dt) ротн = F- тапер — такор,
где акор = 2 [covOTH], или (в тензорных обозначениях) а?ор = 2&*.vf\ o)(o)ij)—угловая скорость вращения системы отсчета; F — реальная сила, действующая на точку. В (3.21) отсутствует аналог силы F, так как это уравнение геодезической. Из сравнения правых частей находим:—Fv— ускорение; — тензор угловой скорости вращения; D? — тензор скоростей деформаций (в механике сплошных Сред D? обычно появляется вместе с i4??) системы отсчета относительно локально геодезической системы отсчета с осью времени вдоль
20 3.3. ОПЕРАТОРЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В МОНАДНОМ ФОРМАЛИЗМЕ
В § 1.8 были определены производные Ли, сопоставленные произвольному векторному полю ^m". В монадном формализме таким полем служит поле временно-подобного вектора т^ Производные Ли вдоль чР играют существенную роль в этом формализме. Прежде всего, запишем производные Ли от составляющих метрического тензора:
stpl = tatjj, f a + X0X0 ^ = X0 (tpl t 0 X0 f ^l) = Fll',,
t
?h>iXV — ^0Hvivt0 -f- hovx° Hvi0X0v — 2Z)jj,v;
X
~ in ^m,; v = ^v^m, 2Z)|nv.
(3.22)
Вспомним, что мы условились работать лишь с пространственно-спроектированными тензорными величинами, поэтому образуем из производной Ли такой оператор, который при действии на пространственно-спроектированный тензор давал бы опять пространственно-спроектированный тензор. Таким оператором является
дВ1
djBlv. = Hl\\t.::s?S::: = т* —^г -
т
-NavBl:: - . . . +N?bv:::+ . . . (з.2з>
где N1?. = — XvFvi. В дальнейшем будем называть этот оператор монадной временной производной.
Заметим, что из оператора ковариантного дифференцирования Va, оператора пространственного проектирования Я^*/.;^;;; и вектора х° можно образовать еще несколько тензорных операторов дифференцирования, например:
V7^::: ^ ^vaSS:::; WbI :: = hI : ^aVЛ':: • (3-24>
Последний оператор связан с монадной временной производной соотношением
п
VrBlV. = дгЦ:::-(Av0-Dv0)Ц- -... + (а%- Dg)^:::+...
m п m
(3.25)
В дальнейшем будем использовать в основном оператор (3.23).
Определим оператор монадного пространственного ковариантного дифференцирования следующим образом:
20 VrBl^ = - hl (va?S: -.:)^1::1:: = -hl
дві-
¦ +
dx"
+ (Ц0+ /4,0)?::: + • • , + (Llo^+hlJBi::+ . . .
rt m
(3.26)
где Lyq = (l/2)hvK (hKyf0 + Ajuypv — Va)-
Приведем результат действия введенных операторов на 3-мерный метрический тензор А
Ojhllv = 2Dviv- дтЬГ = - 2D^v; = 0, (3.27)
а также результаты коммутации операторов, действующих на произвольный вектор Вк:
(VadT - drVa) Bk = FadrBx + В» [2Fvi (Ака - Dl) - 2Fk (Am - Dm) + +? * - Dva - (V11 - F1O DKa - (v- - Fa) ; (3.28) (v.V? - V?Va)= 3^??p + 2Лар(дт&і+ Dk0B0). (3?)
где
3^pa? = я^р (dLw/dx^ - OLlviIdxv + LtllLov - UvLaid (3.30)
—тензор кривизны 3-мерного пространственного сечения, ортогонального Tm-; Lqv = Llv + hl ,v— обобщенные коэффициенты 3-связ-ности.
Используя определения монадных производных (3.23) и (3.26), перепишем в монадном виде левые части уравнений геодезических
(3.20) и (3.21):
Dm/dx = dm/dx = dTm + vvy-m; )
(3.31)
DpvIdx = - hl (dpv/dx - Ntfpfl) + Ll?p«vV = дтр* + v^p\ J
