Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, укажем, как можно развернуть содержание геометрии искривленного пространства-времени, ввести ее основные понятия и соотношения, исходя из показаний часов на временно-подобной мировой линии и фиксации времен испускания и приема световых сигналов.
1. На мировой линии имеем монотонно изменяющийся параметр т—собственное время наблюдателя. Квадрат интервала Sp между двумя событиями на этой мировой линии задается часами:
Si2 = (т2 -- T1)2.
2. В окрестности своей мировой линии (не обязательно малой) наблюдатель самым непосредственным образом может ввести две координаты окружающих точек-событий. Поясним это. Пусть наблюдателя интересуют координаты точки-события M (вне его мировой линии), и пусть наблюдатель, испустив сигнал в момент собственного времени п, отсчитываемого от некоторой точки О, получил отраженный от M сигнал в момент тг. Значение п положительно, если точка О предшествует п, и отрицательно, если О выбрано после T1-. Время события M относительно О можно определить величиной
T0Af = (1/2)(? + ?), (2.14)
расстояние между события О и M задать формулой (рис. 3)
Z0Af = (1/2)(?-?), (2.15)
а квадрат пространственно-временного интервала между событиями — формулой
S20M = TiX2. (2.16)
Легко видеть, что выполняется обычное соотношение *
Som = гом — IOM . (2.17)
3. Если точка O1 лежит между близкими моментами испуска-
* Заметим, что эту схему рассуждений анализировали как философы [43, с 302], так и физики [44, с. 49; 45; 46].
20 ния сигнала и приема его после отражения (рис. 4), то согласно (2.16) малый отрезок O1M пространственно-подобен, т. е.
ds2olM = [O1Mf = - AO1O1B < 0. (2.18)
Хроногеометрическим способом можно ввести понятие скалярного произведения малого временно-подобного вектора 0\В ипростран*
Рис. 3. Определение момента времени и расстояния события M относительно события О в хроногеометрии
Рис. 4. Определение скалярного произведения в хроногеометрии
ственно-подобного вектора O1M с началом в одной точке O1 вы-
(0)
"бранной мировой линии т . Для этого рассмотрим треугольник OiBM. Для составляющих его малых векторов имеем MB? = = O1Bli — O1Mixia Запишем квадрат этого выражения
MB11MB11 = O1B11 O1B11 — 2O1B1" O1M11 + O1Mix O1M11 = O1B2 + + O1M2- 20^ O1M11.
Ввиду того, что MBix — изотропный вектор (MB1*1 MBvi — 0), хроногеометрическое определение скалярного произведения записывается следующим образом:
O1B11O1M11 = (1/2) (O1B2 + O1M2). (2.19)
Учитывая (2.18), находим, что векторы OBix и 0M? ортогональ-ни, если имеет место хроногеометрическое условие AO = OB [5].
С помощью хроногеометрической формулы (2.19) можно определять также проекции любых смещений других векторов (в точках данной мировой линии) на направления (временно-подобные) этой мировой линии. Так, если определен 4-импульс Pll какой-то
20 частицы в точке Ob то энергия этой частицы E(O1) = T^(O1) Pjl(O1)t
где T^(O1)—единичный вектор, направленный вдоль мировой ли-(o)
НИИ т .
4. В хроногеометрической схеме не содержатся две оставшиеся координаты (например, углы 0 и ср). Для их введения необходимо
(0)
дополнительно определить в окрестности мировой линии т как
(1) (2)
мииимум две другие (опорные) мировые линии т и т и допустить возможность сравнения направлений приходящих и испущенных сигналов с направлениями на опорные мировые линии. Это легко понять, вспомнив опорные направления в определениях сферических и цилиндрических координат в плоском пространстве. Для задания координат, аналогичных декартовым, удобнее определить три опорные мировые линии. Тогда в малой окрестности
(0)
исходной мировой линии т можно определить триаду пространственно-подобных векторов OMh, ортогональных временно-подобному вектору OB.
5. Покажем, как в рамках хроногеометрии можно определить значения метрического тензора ^flv (0) в произвольной точке О
(0)
мировой линии т [47]. Пусть в малой окрестности точки О каким угодно способом введена система координат. Ею может быть и система с хроногеометрическим заданием координат x0 = xf x1=1i согласно п. 2. Выберем в этой окрестности 10 раличных точек-событий M(г) (г= 1, 2, ..., 10), тогда получим 10 хроногеомет-рически измеримых интервалов dsoM(r) с началом в общей точке О. Координаты выбранных точек {-*? + dx^r)}. Определим квадратную матрицу, имеющую размер 10X10: y{rp) = y^ = [dx^r)dxv{r)\>
где индексом р пронумерованы 10 возможных симметричных комбинаций индексов (Li и V в 40-мерном многообразии. Десять точек-событий M(г) будем называть независимыми, если определитель Il У(рг) I! Ф 0. Положим, что выбранные точки-события M^) независимы. Тогда систему из 10 соотношений
dsoM(r) = g^v (0) dx>{r)dxv(r) (2.20)
можно рассматривать как систему уравнений относительно 10 неизвестных компонент метрического тензора с матрицей известных коэффициентов у(РГ) и хроногеометрически заданных dsoM(r) . Решая эту систему, находим искомые компоненты метрики ^flv(O).
6. Анализ процессов трехкратного отражения сигнала между
