Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Свойство частичной упорядоченности можно рассматривать как наиболее глубокую (фундаментальную) составную часть классических пространственно-временных отношений. Именно отношения упорядоченности при соответствующей увязке их с другими свойствами (аксиомами) пространства-времени обусловливают понятие причинности в- физике. Отношения частичной упорядоченности подчиняются ряду аксиом [35—381, формирующих понятие светового конуса.
Можно развить довольно содержательную теорию множества лишь со свойствами частичной упорядоченности (кинематику), затем перейти к структуре с топологией, порождаемой частичной упорядоченностью, потом к заданию допустимых координат (этот вопрос затронут в § 2.3) и лишь затем ввести на основе всего предыдущего рассмотрения метрику и ее связь с распределением материи [37, 39, 40]. В результате последовательного развития теории согласно этой схеме можно прийти к содержанию ОТО. При этом наиболее естественно проявляется имеющаяся в ОТО связь между метрическими свойствами пространства-времени и свойствами частичной упорядоченности: квадрат интервала между близкими точками положителен (ds2>0), если точки-события упорядочены (временно-подобны), и отрицателен (ds2<0), если точки-события не упорядочены (пространственно-подобны).
2.2. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПЕТРОВА ПРОСТРАНСТВ
ЭЙНШТЕЙНА
С сигнатурой 4-мерного пространства-времени тесно связана алгебраическая классификация решений уравнений Эйнштейна (точнее, пространств Эйнштейна),, предложенная А. 3. Петровым [41]. Эта классификация основана на следующем. Матрице МАВ(/?) из компонент тензора Римана (или Вейля) сопоставляется характеристическая матрица Mab(R) — XIab* где X— собственные значения, т. е. корни характеристического уравнения || Mab(R) — XIab Il —0; а, в—индексы, нумерующие элементы матрицы; Iab—аналог единичной матрицы, образованный из компонент метрического тензора. Характеристическая матрица (^-матрица, см. ниже) приводится к канонической (нормальной) форме. Возможные канонические формы определяют алгебраические классы пространств по Петрову.
Выведем классификацию Петрова последовательно, но прежде всего дадим определение. Римановы многообразия, удовлетворяющие соотношению
rHV = 0Bixv, (2-і)
где а — некоторая постоянная, при любой размерности и любой сигнатуре метрики называются пространствами Эйнштейна. Соотношение (2.1) в общем случае не совпадает с уравнениями Эйнштейна, однако пространства Эйнштейна охватывают все решения уравнений Эйнштейна. Действительно, все вакуумные решения последних являются пространствами Эйнштейна с O = 0. Для невакуумных решений вместо тензора следует взять тензор Вейля » который обладает всеми алгебраическими свойствами тензора Римана—Кристоффеля и для которого Cjliv = 0.
Используя свойства симметрии тензора Римана—Кристоффеля (Вейля)
20(1.28)—(1.30), введем для каждой пары индексов специальные (бивекторные) обозначения, которых вследствие антисимметрии должно быть шесть:
(10) -> 1; (20) —»- 2; (30) — 3; (23)->І; (31) 2; (12) 3.
В этих обозначениях все компоненты тензора Римана—Кристоффеля (Вейля) можно представить в виде симметричной квадратной матрицы:
MAB (R) =
Xu ^12 ^13 Y ¦ 11 У12 Y - \ 13 \
^22 Y -21 Y • 22 У* \ 23
^32 *33 у32 Гзз
Y-12 Y- 13 zii Z-. 12 Z- 13
Y- 22 7- 23 Z . 21 Z-- Z- 23 .
Уз> Y- 32 Узз Z-. 31 Z-. 32 Z.. і 33 /
(2.2)
\
где использованы обозначения: ,
; xik = roiok; yr-k = rr0si (1/2) eksi; z^ = (1/4) rsrmn^lsr^kmn-
Здесь и в дальнейшем латинские индексы пробегают значения: 1, 2, 3; ehsi—¦ (трехмерный символ Леви-Чивиты.
Десять условий (2.1) приводят к дополнительным симметриям в матрице (2.2). В локально-декартовой системе координат эти условия означают, что
xlk = — Z- ; y - = y- . (2.3)
Ik' si si v '
"Следовательно, матрица Mab имеет структуру, связанную с выделенностью времени
Mab = (у _JX). (2.2а)
Подматрица x состоит из величин с двумя временными индексами, а У — из величин с одним временным индексом.
Для следа подматрицы x находим из (2.1)
X11 + X22 + X33 = -а. (2.4)
Из тождеств Риччи (1.31) следует, что
Y ' + Y • + Y • =0. (2.5)
11 1 22 1 33 v '
Таким образом, 10 условий (2.1) уменьшают число алгебраически независимых компонент тензора Римана—Кристоффеля (Вейля) до 10.
Построим характеристическое уравнение для матрицы Mab в виде
WMab-^abW =0, (2.6)
гДе Sab — метрический тензор бивекторного (6-мерного) пространства:
gAB grx?nv ="- fem ??v — Sav %i), (2.7)
обладающий теми же свойствами симметрии, что и Яар^-
^oc?lLiv = ^?ajLiv == ^a?v|Li== ^juvoc?. (2-8)
В локально-декартовой системе координат при сигнатуре физического пространства-времени (+---) матрица gAB имеет вид (при ранее введенных обозначениях для парных индексов):
?ав=(~; ?). (2.9)
20Таким образом, характеристическое уравнение (2.6) имеет структуру
xV1 -yLu W=V- (2-ю)
Y -X-KI ..
Прибавляя к столбцам и строкам матрицы (2.10) другие столбцы и строки с соответствующими коэффициентами, (2.10) можно привести к виду