Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
где Av (х, у) и Bko (х, у) — функции, зависящие от метрики и точек X и у. Они не зависят от номера s вектора Киллинга.
Если в римановом многообразии имеется несколько векторов Киллинга ?vS), то их линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами также является вектором Киллинга. Это следует из линейности уравнений Киллинга (1.55).
Набор векторов Киллинга ?vS) образует линейно-независимую систему в многообразии, если нельзя так подобрать постоянные коэффициенты c(S)9 чтобы в любой точке x выполнялось соотношение
2c(s)Us)( *) = 0. (1.59)
(S)
В общем случае коэффициенты в комбинации (1.59) меняются от точки к точке. Из соотношения (1.58) следует, что максимальное число возможных линейно-независимых векторов Киллинга (не в точке, а в многообразии)
N = п(п+ 1)/2.
Укажем несколько важных классов многообразий с характерными наборами векторов Киллинга.
1. Метрическое многообразие называют однородным, если оно обладает подвижностью, позволяющей преобразованием (1.50) перевести его произвольную точку X в любую другую точку окрестности X. Другими словами, в каждой точке многообразия метрика допускает существование векторов Киллинга, принимающих произвольные значения. Многообразие с таким свойством образует группу JIu.
Очевидно, в каждой точке однородного n-мерного многообразия должно существовать п линейно-независимых векторов Киллинга ^co (индекс а нумерует векторы Киллинга). Операторы дифференцирования Ли вдоль выбранных векторов, действующие на скаляры, обозначим:
Xm= S =1\а)д!дх\ (1.60)
IM
Говорят, что операторы (1.60) определяют базис группы, если их коммутаторы линейно выражаются через эти же операторы, т. е.
20 [X(a)X(?)] =X(a)X(?) —X(?)X(a) = (1-61)
где C(a?) — постоянные, называемые структурными константами группы. Соотношения (1.61) являются математической формулировкой однородности многообразия. Сопоставляя векторам Киллинга I(C6) обратные им векторы согласно IwIv^ = 6(5) "» ImlFy = gl, из (1.61) находим:
= &A № W - dl^ldx^). (1.62)
Структурные константы удовлетворяют соотношению
^(a?)^(w) ~Г ^(Va)Cf(?Y) -f- ^(?v)^(ocY) = U» I1-dcV
соответствующему групповому свойству ассоциативности.
В однородных пространствах в качестве п линейно-независимых векторов МОЖНО выбрать = 6v.
2. Метрическое многообразие называют изотропным в данной точке у (относительно у), если оно обладает подвижностью, оставляющей неподвижной эту точку [т. е. Iv (у) = 0], а первые производные Iv, а (у) в такой точке принимают все возможные значения, подчиняясь лишь условию антисимметрии (1.55а). В изотропном многообразии п измерений можно выбрать п (п—1)/2 векторов Киллинга [значки (a?) нумеруют векторы Киллинга], удовлетворяющих условиям:
^p' (X, у) = - йра) (X, у); sfp) (у, у) = 0;
& {У, У) = Wx^ (X, У)L=, - oX - A
Можно сказать, что векторы
Киллинга ?iap) определяют повороты многообразия вокруг осей, проходящих через точку у.
3. Однородные изотропные метрические многообразия являются максимально симметричными, так как они обладают п(/г + 1)/2 линейно-независимыми векторами Киллинга. Можно показать, что изотропное в каждой точке многообразие является однородным.
1.9. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ РИМАНОВЫМИ ПРОСТРАНСТВАМИ
Несомненный физический интерес представляют некоторые виды соответствий между различными римановыми пространствами, определенными на одном и том же множестве точек с единой системой координат. Рассмотрим несколько важнейших из них.
Двуметрические теории. В них фигурируют многообразия, снабженные двумя произвольными римановыми метрика-*
ми Sa? M и Sa? W- Существенная особенность двуметрической теории состоит в том, что разность символов Кристоффеля, образован-
(1.64)
20 ных из соответствующих метрик, является тензором *. В этом легко убедиться, учитывая трансформационные свойства символов Кристоффеля (1.15) при преобразованиях координат. Двуметриче-скую теорию широко используют для описания «слабого» гравитационного поля», когда метрика рассматриваемого риманова пространства мало отличается от метрики плоского пространства-времени. Последнюю выбирают в качестве второй метрики.
Конформное соответствие римановых пространств. Два римановых пространства с метрическими тензорами ga$(x) и ga? (я), определенными на одном и том же многообразии точек, называют конформно-соответствующими, если
Sa? (*) = exP f2a (*)] Sa? (*). О .65)
где а(х) —некоторая скалярная функция координат. В таких пространствах длины векторов с компонентами dxa различаются
множителем, зависящим только от выбранной точки: ds =
= ^ Sa? (*) dxadx$ == exp [a (*)] ds. В конформно-соответствующих пространствах углы между соответствующими парами векторов равны. Действительно, для углов между векторами dxa и oxa имеем:
/\ ^rylAaS*13 *
COS (|dxa, oxa) = - a|j -==3=- = cos (dxa> &xa).
V^xW V gXKox4x"
Из определения (1.65) следуют соотношения между геометрическими величинами конформно-соответствующих римановых пространств произвольной размерности п\
