Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Sgrliv = Sv; ц + v = 0. (1.55а)
Уравнения (1.55) называют уравнениями Киллинга, а векторное поле удовлетворяющее уравнению Киллинга, — вектором Киллинга.
Не всякое пространство допускает решение уравнений Киллинга. Конкретное риманово пространство не обязательно обладает вектором Киллинга. Однако может случиться, что риманово многообразие допускает не один, а несколько векторов Киллинга
.*<«> (5=1,2,3,...).
Обсудим важнейшие свойства векторов Киллинга. Прокоммутируем вторые ковариантные производные от Iv:
Sv; а; ? — Sv; ?; а = ^vct?Sb (1.56)
Прибавляя к этому соотношению еще два, отличающиеся циклической перестановкой индексов v, а, ?, учитывая тождества Рич-чи (1.31) и (1.55а), находим:
Sv; а; ? = R^fictvSb (1 -57)Это означает, что, дифференцируя (1.57) и затем используя его опять, можно выразить ковариантные производные от Iv любого порядка через Iv и (с коэффициентами, зависящими от выб-
ранной точки). Отсюда следует, что любой вектор Киллинга в произвольной точке X можно выразить через вектор Киллинга и его ковариантную производную в другой точке у. Действительно, разлагая (х) в РЯД Тейлора и используя (1.57), можно записать [32]:
?<s) (X) = 4 (*, у) Us) (У) + Bl0 (х9 у) $><, (У), (1.58)»
где Av (х, у) и Bv0 (х, у) — функции, зависящие от метрики и точек X и у. Они не зависят от номера s вектора Киллинга.
Если в римановом многообразии имеется несколько векторов Киллинга ?vS), то их линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами также является вектором Киллинга. Это следует из линейности уравнений Киллинга (1.55).
Набор векторов Киллинга ?vS) образует линейно-независимую систему в многообразии, если нельзя так подобрать постоянные коэффициенты Cish чтобы в любой точке X выполнялось соотношение
0. (1.59).
(S)
В общем случае коэффициенты в комбинации (1.59) меняются от точки к точке. Из соотношения (1.58) следует, что максимальное число возможных линейно-независимых векторов Киллинга (не в точке, а в многообразии)
N = п(п+ 1)/2.
Укажем несколько важных классов многообразий с характерными наборами векторов Киллинга.
1. Метрическое многообразие называют однородным, если оно обладает подвижностью, позволяющей преобразованием (1.50) перевести его произвольную точку X в любую другую точку окрестности X. Другими словами, в каждой точке многообразия метрика Допускает существование векторов Киллинга, принимающих произвольные значения. Многообразие с таким свойством образует группу Ли.
Очевидно, в каждой точке однородного n-мерного многообразия должно существовать п линейно-независимых векторов Киллинга IJa) (индекс а нумерует векторы Киллинга). Операторы дифференцирования Ли вдоль выбранных векторов, действующие на скаляры, обозначим:
Xw= S =1Ъ)д/дх\ (1.60)
im
Говорят, что операторы (1.60) определяют базис группы, если их коммутаторы линейно выражаются через эти же операторы, т. е.+ ^-jT+ • • -+^R---. (1-54)
Л V-P Р ' • ' ^v0
т
«что эквивалентно
п
S bS = Г у л—5g:::vor— . . . + 3S:::ypEg + • • . +
§ ^T" 4 ¦---'4-------'
т т
+ х»Ц\\\ч?*. (1.54a)
4. Производная Ли от символов Кристоффеля определяется указанным выше способом и является тензорной величиной.
Теперь можно перейти к определению подвижности риманова многообразия. Говорят, что риманово многообразие допускает движение (подвижно) вдоль векторного поля если производная Ли от g^v вдоль Ь1 обращается в нуль:
\ ^v = WgJdxa + gavd?/dx» + S1^W = 0. (1.55)
"Исходя из смысла производной Ли (1.53), можно сказать: подвижность многообразия означает, что измененная при смещении (1.50) метрика g'?V(x') должна быть точно такой же функцией аргумента х', что и первоначальная функция SiuvW ее начального аргумента Xt т. е. g^v (л:') = g^v (х). Легко убедиться, что (1.55) можно записать иначе:
Sgliv = EvilX + v = 0. (1.55а)
Уравнения (1.55) называют уравнениями Киллинга, а векторное поле удовлетворяющее уравнению Киллинга, — вектором Киллинга.
Не всякое пространство допускает решение уравнений Киллинга. Конкретное риманово пространство не обязательно обладает вектором Киллинга. Однако может случиться, что риманово многообразие допускает не один, а несколько векторов Киллинга
(5 = 1,2,3,...).
Обсудим важнейшие свойства векторов Киллинга. Прокоммутируем вторые ковариантные производные от ^v'
Sv; а; ? — Sv; ?; а = R^vafilx. (1.56)
Прибавляя к этому соотношению еще два, отличающиеся циклической перестановкой индексов v, а, ?, учитывая тождества Рич-чи (1.31) и (1.55а), находим:
Sv; а; ? = R^?avh- (1.57)Это означает, что, дифференцируя (1.57) и затем используя его опять, можно выразить ковариантные производные от Iv любого порядка через и ?v,а (с коэффициентами, зависящими от выбранной точки). Отсюда следует, что любой вектор Киллинга Ivsy в произвольной точке X можно выразить через вектор Киллинга и его ковариантную производную в другой точке у. Действительно, разлагая ?vS) (*) в ряд Тейлора и используя (1.57), можно записать [32]:
&s) (X) = 4 (je, у) Us) (у) + Btf (х, у) W^0 (у), (1.58)*