Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
7*v = _ (і/4я) [р^ _ (1/4) ^FafiF0*]. (1.43)
Уравнение Клейна — Фока. После необходимых замен это уравнение имеет вид:
gw (O2Wfdx^dxv — TlvdW/dxa) + (тс/Щ* W =--0. (1.44)
Однако в него можно добавить еще одно слагаемое
[^vVliVv + + aR] W = 0, (1.44а)
Где R — скалярная кривизна: а — некоторая постоянная. Ее значение зависит от способа получения этого уравнения или других соображений: а = —1/4 — при получении уравнения Клейна — Фо-Jca квадрированием уравнений Дирака в искривленном пространстве-времени; а = —1/3 — при выводе уравнения Клейна — Фока на основе фейнмановского суммирования по историям в ОТО; а = = —1/6 — при требовании конформной инвариантности уравнения для безмассового скалярного поля.
Тензор энергии-импульса скалярного нейтрального поля чаще всего записывают в виде
7Vv = V. ,^ V + (1/2) ^v К"* ^2 - « VЛ (1.45)
Следует заметить, что вид тензора энергии-импульса скалярного поля окончательно не ясен [29]. В ряде работ отмечалось, что, во-первых, Tiiv скалярного поля должен быть таким, чтобы при лг = 0 его след обращался в нуль (7 = 0); во-вторых, Tllv может содержать вторые производные от ЧЛ В связи с этим предлагались различные выражения для Tiliv. Например, в статьях А. А. Гриба, С. Г. Мамаева, В. М. Мостепаненко для заряженного скалярного поля использовалось выражение
20 Ttiv = 2 {Ч>: Д, v + (1/2) g(lv [(nidhf V*W - (R/6) -
Для полноты картины следовало бы здесь же записать уравнения Дирака в искривленном пространстве-времени. Однако это будет сделано в гл. 7, где изложен необходимый математический аппарат (тетрадный формализм).
Некоторые важнейшие уравнения мировых линий. Уравнения движения заряженной частицы (с зарядом q) в электромагнитном поле и искривленном пространстве-времени имеют вид:
dW _ г,х dxa dx$ Я р[Х dxa п
mc2 'а ~~ds~ '
Уравнения изотропных геодезических (вдоль которых S = O) можно получить из условия параллельного переноса волнового вектора ka вдоль самого себя:
= 0 k° + TXokk) = 0. (1.47)
Волновой вектор k^ касателен к изотропной геодезической, и его длина равна нулю k^k^g^y = 0.
1.8. ПОДВИЖНОСТЬ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
В общем случае записанные уравнения очень сложны. Нет универсального метода нахождения решений уравнений Эйнштейна, тем более совместных систем из уравнений Эйнштейна и других полей. Однако получение решений существенно упрощается, если искомая метрика обладает некоторыми симметриями. В ряде случаев задача вообще сводится к решению системы алгебраических уравнений. В этом параграфе сформулированы основы теории симметрий, или подвижности римановых пространств.
Предварительно введем новую операцию — дифференцирование Ли. Пусть в римановом многообразии задано векторное поле ^ , тогда можно определить тензорный оператор St называемый производной JIu*, вдоль векторного поля ^ [30]:
п
= . . . I- . . ., (1.48)
где B?'y. —произвольный тензор; уа —оператор ковариантио-
* Производные Ли были введены в 1931 г. В. Шлебодзнньскпм [31]. Название «производная Ли» предложил Ван Данциг.
20 го дифференцирования. Расписывая явно оператор у, легко привести производную Ли к более простому виду
п
s?fj = іадві;-Jdxa-Bi:-MvJdxa- . . . +
5
+ Bva::;dia/d/'+ . . . (1.49)
К производным Ли можно прийти, рассуждая следующим образом. Пусть в окрестности точки с координатами х° определен произвольный тензор ??;;;(jca). Произведем бесконечно малое смещение вдоль вектора на величину dX:
х° xf° = х° + ladk (1.50)
и рассмотрим тензор с измененным аргументом
в'1\ ::(xa + ladi) = (Л + Г (дв»;: -Jdx0) dx. (і .51)
Понимая эту величину определенной в системе координат {.х'}, преобразуем ее в первоначальную систему координат {х}
. . .(<дх'а/дхр) . . Л;;,
где согласно (1.50)
dx'V = 6^ + Iа, pdX; дх9Idxtvk = ^l-Ivi ^dX. (1.52) Разность тензоров
'Щ:::—в%:;: = QBfcydi (і.53)
называется дифференциалом Ли от тензора относительно
векторного поля Учитывая (1.51) и (1.52), приходим к выражению (1.49) для производной Ли.
Перечислим основные свойства производных Ли.
1. Производная Ли от суммы величин одинакового сорта равна сумме производных Ли от слагаемых.
2. Для производной Ли от произведения величин А и В справедливо правило Лейбница С (AB) = (йЛ) В + А (2В).
S I I
3. Производная Ли от тензорной плотности Bfc]] произвольного веса W также является тензорной плотностью того же веса. Она записывается в виде
п _
ODV^ дВ1'- '• ¦ ъо... dlv
Sfip... =E --/%... —- . . •+
т
20
m
*что эквивалентно
ті
?5E = -?:::VgSv- . . . + ?::^ + ¦ ¦ . +
? m ----'' •---'
т т
+ wBl.\\Valu. (1.54а)
4. Производная Ли от символов Кристоффеля определяется указанным выше способом и является тензорной величиной.
Теперь можно перейти к определению подвижности риманова многообразия. Говорят, что риманово многообразие допускает <движение (подвижно) вдоль векторного поля если производная Ли от g вдоль Ija обращается в нуль:
I^v = i°dgjdx° + + Sllo^V = 0. (1.55)
.Исходя из смысла производной Ли (1.53), можно сказать: подвижность многообразия означает, что измененная при смещении (1.50) метрика g'llv(xr) должна быть точно такой же функцией аргумента что и первоначальная функция SjlivW ее начального аргумента Xt т. е. ^v (л/) = g^v (х). Легко убедиться, что (1.55) можно записать иначе:
