Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Владимиров Ю.С. -> "Системы отсчета в теории гравитации" -> 10

Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.

Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации — М.: Энергоиздат, 1982. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): sistemotchetateorgrav1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 102 >> Следующая


20 96

R[xv = R-iikv> называемый тензором Риччи (свертка с последним индексом приводит к выражению с обратным знаком). С помощью (1.30) легко убедиться, что R1Iv=zRvv УмНОЖая Rvv внутренним образом на ^v, получаем скалярную кривизну R — Riivgllv-

1.7. ВАЖНЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Уравнения Эйнштейна. Центральное место в ОТО занимает вопрос о зависимости искривления пространства-времени от распределения и свойств находящейся в нем материи. Этот вопрос был решен в 1915—1916 гг. открытием уравнений Эйнштейна*.

Искомые уравнения должны были связать геометрические про-странственно-времениые величины и физические характеристики материи. Уже из ньютоновой теории гравитации следует, что в качестве источника гравитации следует выбирать величину, содержащую плотность или массу материи. После создания СТО стало ясно, что искомая характеристика должна содержать скорость. Игнорируя экзотические комбинации, можно ограничиться простыми тензорными выражениями. Простейшим из них является импульс материи. Но эта величина фактически уже занята в электродинамике, где во второй паре уравнений Максвелла справа стоит ток. Следующим кандидатом на роль источника искривления был тензор энергии-импульса материи Tap. Это предположение и оказалось правильным.

Какую геометрическую величину надо сопоставить Tap? Во-первых, это также должна быть тензорная величина второго ранга. Во-вторых, она должна обладать таким же важным свойством, что и Ta^:

Tapip = Of (1.34)

являющимся обобщением известного в плоском пространстве-вре-мени (в декартовых координатах) соотношения дҐ*/дхР = 0, приводящего к закону сохраненния энергии-импульса материи. Эту геометрическую величину можно получить сверткой тождеств Бианки (1.32) по индексам K1 v и умножением их на g-a*\ В результате находим:

R;o-2R% ? - 0 [Ra? - (1/2) gapfl]. р = 0. (1.35)

Для получения уравнений Эйнштейна остается только приравнять с помощью размерного коэффициента две величины:

К* — (1/2) ga?fl ^Gap- (1.36)

где коэффициент X называется эйнштейновской гравитационной постоянной. Из сопоставления с уравнением Пуассона в ньютоно-

* Фундаментальные уравнения физики по существу не выводят, а открывают. Даже в тех случаях, когда как будто предлагается их вывод (из вариационного или иного принципа), на самом деле производится замена постулатов.

25 вой теории гравитации следует к = 8nk/c^, где k — ньютонова гравитационная постоянная; с— скорость света. Иногда удобно записывать уравнения Эйнштейна в ином виде. Умножив (1.36) на получим R =—хТ. Подставляя зто соотношение в (1.36), находим:

prt = X [Tap-(1/2)^71]. (1.36а)

Для пустого пространства-времени уравнения Эйнштейна упрощаются:

Raft = 0. (1.37)

Если быть до конца последовательными, то нужно учитывать, что обращается в нуль ковариантная дивергенция еще от одной геометрической величины: g^.? = 0, поэтому уравнения Эйнштейна можно обобщить:

— (1/2) ga?R + Aga? = XTap. (1.38)

Здесь коэффициент Л обычно называют космологической постоянной. Чаще всего полагают Л = 0, однако вопрос о необходимости космологической постоянной и значении Л еще дискутируется.

Под компактной записью уравнений (1.36) — (1.38) скрыта сложная система из 10 нелинейных дифференциальных уравнений (в частных производных) второго порядка относительно компонент g Однако вследствие четырех тождеств Бианки (1.35) из: 10 уравнений Эйнштейна независимыми являются только шесть.. Поэтому для нахождения 10 компонент метрического тензора g следует использовать четыре дополнительных необщекова-риантных (координатных) условия

/<«> (SV Х%) = (1.39>

Важнейшие уравнения поля в искривленном престранствз-вре-мени. Как уже отмечалось, пока лишь гравитационное поле принято описывать с помощью внутренних пространственно-временных характеристик. Остальные поля описываются через внешние к пространственно-временным величины. (Геометризацию электромагнитного и скалярного полей в рамках 5-мерной теории см. в: гл. 11.)

Выпишем основные уравнения для таких полей в искривленном пространстве-времени. При этом будем руководствоваться следующим правилом: соответствующие уравнения нужно записать в тензорном лоренц-ковариантном виде, а затем метрический тензор плоского пространства-времени заменить величиной g а частные производные — ковариантными.

Уравнения Максвелла. Легко убедиться, что в искривленном пространстве-времени тензор электромагнитного поля можно записывать в обычном виде:

20 Fliv = Av;Vi — All., v - дАу/дР — дА»/дх\ (1.40)

Первая пара уравнений Максвелла в ОТО также сохраняет свой обычный вид:

я + FvX; д + Fuil v = OFilJdx1 + dF^dx* + dF^/dxv = 0. (1.41)

Вторая пара уравнений Максвелла в плоском пространстве-времени записывается следующим образом (в декартовых координатах) :

dF^/dxv = 4лД

где j11= edx^/ds—4-ток;є — плотность электрического заряда. Произведя необходимые замены, получим в искривленном простран-стве-времени

F*viV = (W=g){d/dxv) (V^Fliv) = 4яД (1.42)

Тензор энергии-импульса электромагнитного поля
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed