Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
- xe-'SyOm [у, 0] iy=;eexp(_f) = -yq-xe 'aq ^-7---------------•
я 9
(П.37)
Имеем также (если учесть у = хе~{), что
Г &0т \Уу 0] Г /гг - \ б<7/п [О" 0 I
\ q • V<?0<? г = \ Я • (V<?<J9) ехр (iq • у) -?--------------=
Г - /\7 т [О, СУ ] Г [0> О ] /гг оо\
= \ Я ' {VqOq) -----Г-7--------\ Я * tyOq -?------. (П.38)
9 Ч 9J Ч
Таким образом, член Уу0т сокращается со вторым членом
(J,.
В качестве примера решений уравнения на собственные значения для dm
рассмотрим гауссову неподвижную точку
243
Приложение
[u2(q), определяется выражением (П.18) с с = 0; и\ = иs = = ... =0 и b =
1]. Удобно определить вспомогательную функцию ф(<7), удовлетворяющую
уравнению
-7^ф(<7) = {-1+(1+2<72)[1-2нИ<7)]}Ф(?). (П.39)
Некоторое частное решение данного уравнения имеет вид
¦м-".ДЙДег (rwo)
Рассмотрим теперь уравнения для щ, v2 и т. д. Легко видеть, что эти
уравнения имеют решения только для щ или v2 не равных нулю; однако если
п3 или г>4 не равны нулю, то щ или v2 также не равны нулю. Простейший
случай реализуется, если лишь функция Vi(q) не равна нулю. Уравнение для
Vi(q) в этом случае можно записать в виде
(-4" + 4-V, + ^)[^]-0. (П.41)
Уравнение (П.41) имеет общее решение
l^T = \<llPfCq), (П.42)
где величина р есть
P = dm(П.43) a f(q) является произвольной функцией единичного вектора q
(Ч = Ч/\Ч D-
Потребуем теперь, чтобы функция щ(<7) была аналитична в точке q - 0. Это
условие означает, что р должно быть положительным целым числом или нулем
(если р нечетно, то функция f(q) должна быть нечетной функцией q).
например, f(q)-qi, где qi - произвольная компонента ^).В таком случае
возможные собственные значения будут
dm = ^ + P (Р> 0), (П.44)
а несколько первых собственных функций выглядят так: dm === •
01т(<7) = Ф(<7)>
dm = -J- + 1: vlm (q) = q^ (q) (любые /) (П.45)
dm - ~~2 2 + 2: v,m (q) = qflpHq) (любые / или /)
244
ПРИЛОЖЕНИЕ
Построение решений с v2, v3 или о4, не равными нулю, теперь очевидно
[чтобы упростить уравнения, можно продолжать использовать функцию ф(<7)].
Найдено, что полный набор собственных значений dm, когда функции щ, ог_2
и т. д. не равны нулю, дается формулой
где р - целое число (положительное или 0). Это согласуется с известными
каноническими размерностями для скалярной теории поля в пространстве
размерности d.
Предостережение. Некоторые из локальных операторов 0т [х, о] эквивалентны
нулевому в следующем смысле. Все n-спиновые корреляционные функции
<5 (*,) ... s (хп) От [х, о] ехр (Ж)) обращаются в нуль, если только х не
равен одному из ж,-. Примером является оператор ^ q2ty (q) aq, который на
языке тео-
ч
рии поля, как оказывается, является оператором V2^, a V2^ =-0 (поскольку
теория, отвечающая гауссовой неподвижной точке, является теорией
свободного поля с нулевой массой).
Литература')
1. Kondo I., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 32, 37 (1964),
2. Anderson P. W" Yuval G., Phys. Rev., Bl, 1522 (1970).
3. Anderson P. W., Yuval G., Hamann ?>., Phys. Rev., Bl, 4464
(1970);
Solid State Commun., 8, 1033 (1970).
4. Anderson P. WJourn. Phys., C3, 2436 (1970).
5. Абрикосов А. А., Мигдал A. A., Journ. Low Temp, Phys., 3, 519
(1970).
6. Fowler М., Zawadowski A., Solid State Commun., 9, 471 (1971).
7. Fowler М., Phys. Rev., B6, 3422 (1972).
8- Guggenheim E. A., Journ. Chem. Phys., 13, 253 (1945).
9. Kadanoff L. P., Proc. Intern. School of Physics "Enrico
Fermi", Corso
51, ed. M. Green, Acad. Press, New York, 1971. (Имеется перевод
в сбор-
нике: "Квантовая теория поля и физика переходов", изд-во "Мир", 1975.)
10. Lorenz Е. N., Tellus, 16, 1 (1964).
11. Ландау Л. Д., Sow. Phys., И, 26, 545 (1937).
12. Stueckelberg Е. С. G., Petermann A., Helv. Phys. Acta, 26, 199
(1953),
13. Gell-Mann М., Low F. E., Phys. Rev., 95, 1300 (1954).
14. Боголюбов H. H., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей,
изд-вр "Наука", 1975.
15. Kadanoff L."P., Physics, 2, 263 (1966). '
16. Kadanoff L. P. et al" Rev. Mod. Phys., 39, 395 (1967).
17. Griffiths R. B., Phys. Rev., 158, 176 (1967).
18. Wilson K., Phys. Rev., D2, 1438 (1970).
19. Поташинский A. 3., Покровский В. JI., ЖЭТФ, 46, 994 (1964).
20. Поляков А. М., Письма ЖЭТФ, 12, 381 (1970).
21. Мигдал A. A., Phys. Lett., 37В, 386 (1971).
22. Parisi G., Peliti L., Lett. Nuovo Cim., 2, 627 (1971).
23. d'Eramo М., Peliti L., Parisi G" Lett. Nuovo Cim., 2, 878 (1971),
24. Parisi G" Peliti L" Phys. Lett., 41A, 331 (1972).
25. Mack G., Todorov I. Т., Phys. Rev., D8, 1764 (1973),
26. Symanzik K., Lett. Nuovo Cim., 3, 734 (1972).
27. Schroer B" Berlin, preprint (lecture notes), 1972.
28. Mack G" Symanzik K., Commun. Math. Phys., 27, 247 (1972).
29. Mack G., в сборнике "Strong Interaction Physics", eds. W.
Riihl and
A. Vancira, Springer Verlag, Berlin, 1973, p. 300.
30. Johnson K., Willey R., Baker М., Phys. Rev., 163, 1699 (1967),
') Литература, отмеченная звездочкой, добавлена редактором и
переводчиком. - Прим. ред.
246
ЛИТЕРАТУРА
31. Baker М., Johnson К., Phys. Rev., 183, 1292 (1969); D3, 2516, 2541
