Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
оказывается, что функция, соответствующая неподвижной точке, существует
для любого значения параметра Ь. Почему мы должны выбирать Ь = 1? Если
число b нецелое, то функция ы| (q) неаналитична по компонентам вектора q
в точке q = 0. Вследствие этого, как пояснялось выше, взаимодействие в
координатном пространстве становится нелокальным. Следовательно, решения,
которые неаналитичны при q = 0, можно отбросить. Решения с целым Ь
соответствуют истинным неподвижным точкам, однако теперь они образуют
некоторое дискретное множество. 'Исследование показывает, что эти
неподвижные точки отвечают начальному взаимодействию со (q), которое при
малых q ведет себя как q2b. (Для Ь = 0 неподвижной точке соответствует g
= 0; для b > 0 имеем g = оо.) Таким образом, случаи, когда определяющая
начальное взаимодействие аналитическая в точке q = 0 функция со(<7)
приводила бы к неаналитической по q функции, соответствующей неподвижной
точке, не реализуется. Следовательно, представляется оправданным
исключение из пространства 5 всех неаналитических функций u2(q), что
эквивалентно исключению тех случаев, когда число b нецелое.
Далее, выведем точные уравнения на собственные значения в случае
аномальных размерностей для произвольной неподвижной точки 36*. Мы
рассмотрим вначале траектории вида
где С?т[с] является неким локализованным функционалом а, рассматриваемым
в первом порядке. Термин "локализованный", вообще говоря, означает, что
бт [о] зависит от фурье-образа s(jc) функции oq, отличного от нуля лишь
на конечных областях х. На практике это означает, что если функционал
б?т[о] разложен по степеням aq, то
(П. 18)
361 - Ж + От [о] ехр (- dmt),
(П.19)
0т [о] = \ vi ОО % + \ 5 5^2 Op Ч2) + • • • > (П-
2°)
Я1 Я-1
240
ПРИЛОЖЕНИЕ
где функции 0, (<7,), v2(q{,q^ и т. д. аналитичны по qt и q2 для
действительных значений компонент q{ и q2 (и, в частности, не содержат 6-
функций, отвечающих закону сохранения импульса).
Если задан любой локализованный оператор От [а], то для него можно
определить следующим образом сдвинутый оператор <Ут[х, а]:
ат[х, а] = От[а'), (П.21)
где
o'q = ехр (iq • х) ач (П.22)
(доказательство см. ниже); далее будет показано, что
= Ж + От [хе~*, о] ехр (- dmt) (П.23)
также является траекторией для любого х.
Подставляя выражение (Г1.19) в дифференциальное уравнение для и удерживая
лишь члены первого порядка по От, получаем уравнение для неподвижной
точки Ж и уравнения на собственные значения для dm:
С (d , v \ бй?* [а] .
j \ 2 + ^4ач) бaq
Я
I f/L , о 24 Г ЬЖ . ьт* . 6Ж) /гтолч
+ 1(' + 2^{т5Г-й-+ет-(П-24)
я
где величина b = dp/dt должна быть постоянной;
-ЛАИ = \ (4 о. +1 ¦
+ 5<" + 2Л{2 + (П.25)
Я
здесь мы сохранили для dp/dt значение Ь, соответствующее неподвижной
точке (см. гл. 12). Разлагая оператор От по степеням eq [см. (П.20)],
приходим к следующим уравнениям:
- dmv 1 (fl'i) = Ai • wi (?i) + \ (b + 2(ll) аз Oi> <72- - Ч2).
(П.26)
Яг
здесь является оператором:
a=-". • - 4+(*+4) [i - к (?,)] <п-27>
§41
ПРИЛОЖЕНИЕ
(в дальнейшем будут использоваться также операторы Ап; они получаются
подстановкой в оператор Ах переменной </" вместо q{)
- dmv2 (qx, q2) = (Л, + Л2) ¦ v2 [q{, q2) +
+ S (6 + 2?з) W4 Oi" ?2> <7з> - <7з)> Яг
- dmw3 (<7,, q2, q3) = (Л, + Л2 + Л3) -v3{qb q2, q3) +
+2 [6+2 (<7i+<72+<73)2] (?i+?2+<73) "КЧиЧьЧз, -<7г-<7г-<7з) +
+ J (Ь + 2<?) w5 (?,, <72, </3, ?4, - ?4) (П.28)
я*
и т. д.
Предположим, что мы получили решения уравнений (П.24) и (П.25), т. е. Ж и
<Ут[о]. Теперь будут определены и сдвинутые операторы От [х, а].
Определение преобразованного таким образом оператора следующее:
0п[х,а] = От[О,а'], (П.29)
если
S (х + У) = S' (у), (П.30)
где
s (у) = ^ ехр (iq • у) oq, s' (у) = ехр(г<7 • у) aq. (П.31)
Я я
В соотношении (П.31) предполагается, что
a'q = ехр (iq • х) сг,.
В заключение определим От\0, о] как От [а].
Оператор (Ут[х, о] удовлетворяет уравнению
Vx0m [X, о] = ^ iqaq [х, а]. (П.32)
Проверяется (П.32) непосредственно подстановкой. Из определения (П.29)
имеем
[х, о] = \ iqa'q Мт[0'а1, (П.ЗЗа)
ба?
ЬОт [х, ст] = ехр ^ х) Шт [о, o'] ' (п.ЗЗб) 6oq бaq
[ iqaq Шт \ iqaq -Шт [0/ а'] . (П.ЗЗв)
J 6a~ J 6а-
бaq J бо"
242
ПРИЛОЖЕНИЕ
Сравнивая (П.33а)' с (П.ЗЗв), приходим к (П.32). Другим полезным
результатом является соотношение
Ж\а] = Ж[а'}, (П.34)
которое следует из закона сохранения импульса. Из этого уравнения
вытекает
(П.35)
6 ач 6 aq
С помощью этих результатов мы покажем теперь, что выражение (П.23)
определяет решение уравнения ренормализационной группы с точностью до
первого порядка по От. Если это так, то мы должны получить
- йтбт \хе~К а] - хе~1 • ЧуОт [у, о] =
Г (d | п V п \ т ^хе ' I
я 9
I f /L 1 r>"?\ Г г> 65^* Ь0т . &20т I _ ^0 т ) /Т1
Ой\
+ )(b + V){2 6g_- б% +б^ба_; + ^-б^|- <п-36>
я
Уравнение (П.36) можно обосновать, используя (П.25), (П.32) и (П.35).
Продемонстрируем в явном виде только сокращение члена Уу(Ут[у, 0]; имеем
fv7 /т> г II Г .- г $0т [6, 0 ]
