Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вильсон К. -> "Ренормализованная группа и epsilon-разложение" -> 42

Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.

Вильсон К. , Когут Дж. Ренормализованная группа и epsilon-разложение — Стройиздат, 1975. — 270 c.
Скачать (прямая ссылка): renormalizovannayagruppa1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 90 >> Следующая

теорией поля) следствием масштабной инвариантности для вакуумных средних
поля с аномальной размерностью ds. Чтобы увидеть это более отчетливо,
допустим теперь, что Г(*ь ..., хп, Тс) - корреляционные функции многих
спинов в координатном пространстве:
Г (*" ...,хя, Тс) = J ... J ехр {i4i -Xi+ ... +i4n' X
4l On
X 6(d) (<7i + • •. + Чп) Г (4i, • • •, Яп, Te). (7.44)
Закон подобия в координатном пространстве, аналогичный (7.43), имеет вид
Г (sx" ..., sxa, Те) = в-"** {Хи ...,хя, Те); (7.45)
он справедлив для 1. В теории поля, обладающей точ-
ной масштабной инвариантностью, такого ограничения не
117
ГЛАВА 7
было бы; действительно, в (7.45) ограничение возникает потому, что в
статистической механике имеется обрезание в импульсном пространстве
(|<jfi|s^ 1) и, следовательно, длина обрезания имеет порядок ~ 1; таким
образом, масштабная инвариантность имеет место только для расстояний,
которые велики по сравнению с длиной обрезания. Соотношение между ds и
критическим показателем ri [см. выражение (7.12)] можно получить, сравнив
(7.45) при п = 2 с формулой (2.4) из гл. 2.
Объясним теперь смысл ограничения -C]<7i|, которое необходимо для
выполнения уравнения (7.42). Чтобы пренебречь гамильтонианом Жа в
уравнении (7.18), величина члена (Г - Тс)еа1Жа должна быть мала.
Параметры t и Т - Те можно выбрать так, чтобы была мала величина (Г-
Tc)eat\ проблема, однако, заключается в том, чему же равна "величина"
Ж а- Как и всякое взаимодействие,
гамильтониан Жх должен быть интегралом от плотности
энергии:
Жх=\жа{х), (7.46)
X
и "величина" Жх зависит от величины объема, существенного для вычисления
интеграла. Приближенная рекуррентная формула дает пример конкретного вида
выражения (7.46): в рамках этого приближения для Жх имеем
Ж л с, J R* [c2s (дс)] (7.47)
X
[ср. (7.2) и (7.7)]. Рассмотрим зависимость от координат парной
корреляционной функции спинов для гамильтониана Ж^;
Г (дс,) = (s (дс,) s (0) ехр (<Ж*,)>. (7.48)
Эта функция для очень больших дс, ведет себя, как ехр(-|xi|/|i), где ?i -
корреляционная длина, соответствующая 5^/,. Ясно, что параметр можно
игнорировать только тогда, когда |*i|<C?i, а параметр ?i становится
бесконечным, если гамильтониан Ж^ заменяется гамильтонианом Ж*. Из грубых
соображений, базирующихся на локальности, ожидают, что область дс, для
которой при вычислении Г(дС]) су-
118
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
ществен гамильтониан Же.{*), является областью, окружающей точки *i и 0 и
имеющей размер в несколько |*i|. Если |*i 1 тогда вклад ?i в Г(деО
незначителен; это указывает на то, что соответствующая область д:
достаточно мала, и, таким образом, член Же в (7.18) является лишь малым
возмущением. Для |*i ?i эта область х достаточно велика, поэтому Же.
более не является возмущением.
Таким образом, для координатного пространства можно сформулировать общее
правило: член Же можно не принимать в расчет только для корреляционных
функций, соответствующих расстояниям, малым по сравнению с корреляционной
длиной. Это условие, переформулированное для импульсного пространства,"
означает, что все |<7f| должны быть гораздо больше |-1. Изложенное здесь
рассуждение довольно поверхностное; более аккуратный, однако нестрогий
анализ приводит к тому же результату.
Если предположить, что функция Г(^1, ..., qn, Т) имеет хорошо
определенный предел при Т -* Тс, т. е. становится независящей от ?(Г) при
Т -> Тс, то вопрос, когда можно пренебречь гамильтонианом Же, уже можно
не обсуждать. Тогда закон подобия (7.43) вытекает непосредственно из
(7.11). Мы рассматриваем величину взаимодействия Же в качестве примера,
связанного с очень общей проблемой в теории ренормализационной группы.
Это общая проблема состоит в следующем: пусть нам дано некоторое
взаимодействие ЖА + бЖв, где 0 - малый параметр, а Ж а и Жв - два
произвольных гамильтониана; возникает вопрос, при каких условиях можно
пренебречь взаимодействием 0Жв? Например, для больших t гамильтониан дЖв
мог бы отвечать некоторому члену (с малым коэффициентом), который
соответствует переходным процессам; тогда вполне уместно пренебречь таким
членом. Со-* гласно обсуждению, которое было проведено выше,
пренебрежение членом вЖв должно быть вполне законным, если мы проводим
вычисление спин-спиновых корреляционных функций для |xi| ~ 1. Однако, в
случае, когда рассматриваются корреляционные функции для больших х, мы
должны учесть возможность того, что вклад от члена дЖв из-за эффектов,
связанных с большим объемом, увеличивается и он не является более малым
возмущением.
Здесь уместно сделать некоторое предостережение. Предположим, что мы
рассматриваем корреляционную функцию,
119
ГЛАВА 7
соответствующую некоторому малому расстоянию, и дифференцируем ее по
параметру, входящему во взаимодействие, например по температуре. Для
иллюстрации, пусть этим параметром будет 0. Выражение, которое получается
в результате, может быть очень чувствительно к члену вЖв, даже если 0
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 90 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed