Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
зависимость от Т определялась зависимостью последнего аргумента функции f
от Т [как, например, в формуле (7.24)], и ее трудно было контролировать.
Теперь эта зависимость выделена явно в виде экспоненциальных множителей
ехр {to(T)}, анализ которых более доступен. Множители ехр {fo(T')} можно
выразить через корреляционную длину ?. Рассмотрим, например, определение
?, принятое в гл. 3:
S2==- -"• <7-27)
<7=0
Тогда, используя соотношение (7.26), получаем I2(D = ехр{2[t0(Т) + т]}
d{n%'~x)
dq
(7.28)
<7'=0
Одним из следствий этой формулы является то, что ехр {^(Т)} можно
представить следующим образом:
ехр{^0(Г)} = -|~у* (7.29)
U4
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
где | (т) - некоторая функция т, не зависящая от Т. Именно из этой
формулы следует, что | (т) не зависит также и от т.
Наконец, необходимо найти зависимость функции ?(f, Т) от t и Т. Эта
зависимость определяется непосредственно дифференциальным уравнением
(7.17). Для большей части значений t гамильтониан Жг близок к Ж*, поэтому
рассмотрим сначала более простое уравнение
Ain ? = Г[ЯГ].
Удобно ввести параметр ds, определяемый как
d-ds = VW\ (7.30)
(ds - постоянная, не зависящая от Т at).
Решение этого простого уравнения имеет вид
?(f, T) = exp{{d-d,)t}. (7.31)
Существуют две области значений t, для которых упрощенное уравнение
несправедливо; чтобы учесть это обстоятельство, формула (7.31) будет
модифицирована. Прежде всего, гамильтониан Жг не является близким к Ж*
для t ^ t0; но Ж\
в этой области значений t можно заменить на Ж3[о', t- *о(Г)]. Это
означает, что У[ЖД является функцией только t - tQ(T), скажем, функцией
v(t-t0{T)). При t <С к(Т) функция v{t - t0(T)) сводится к d - ds.
Принимая во внимание функцию у, уравнение для ? можно записать следующим
образом:
± In ? = d - ds + [v (t - t0 (Г)) - (d - ds)\. (7.32)
Это уравнение следует интегрировать с учетом граничного условия ? = 1 при
t = 0. В интересующей нас области температур Т, близких к Тс, величина
t0(T) велика, так что для t <С tQ(T) членом в квадратных скобках можно
пренебречь. Таким образом, при решении уравнения (7.32) член в скобках
можно интегрировать от t = - оо до t вместо того, чтобы интегрировать от
0 до t. В этом случае получаем
In ? (t, T)=(d- ds) t + In (t -10 (T)), (7.33)
где
t
ln?a(x)= J fa(Ti) - (d - da)]dxi. (7.34)
115
ГЛАВА 7
Теперь для функции ?(*, Т) имеем
? (t, Т) = ?*(/- /0 (Г)) ехр {(d - rf,) /}. (7.35)
(Заметим, что при t "С А>(Л величина близка к 1.)
Наконец, к формуле (7.35) имеется поправка при малых t, возникающая из-за
наличия переходной области. До тех пор пока Т " Те,. поведение 36t при
малых t не зависит ни от Т, ни от того, каково значение 361 при больших,
но конечных t [см. (7.18)]. В результате находим, что правильная формула
для In ? имеет вид
In t,(t, T) - (d - ds) t + \nlB[t- t0 (T)] + In ?д, (7.36)
где функция Z,a не зависит ни от t, ни от Т (в том случае, если t велико
и Т " Тс). Постоянная ?л в действительности зависит от параметров (кроме
Т), которые входят в 360, таких, например, как ы0, см. гл. 4. Используя
уравнения (7.26) и (7.36), находим
г (gi, . • •, Яп, Т) = [?л?в (т) ехр {{d - ds) т}]'1 e~dx X
(7.37)
Чтобы получить формулу (7.11), введем функцию F {Я\> •••><' т) = [Sfl (т)
ехр(- rfsT)id*]'1 X
Г Пп~1 / .т ' х> \
ХЫ /(-г-.-г-О- (738)
Тогда
f(qx, ..., qn, T^ - [%{T)fn~X)d~adsF(%qv lqa, т)?. (7.39)
Однако поскольку ни Г, ни ? не зависят от т, функция F должна также быть
независимой от т; таким образом выводится формула (7.11).
Некоторый более сильный результат можно получить для импульсов,-которые
велики по сравнению с 1 /?, но малы по
сравнению с 1. Вернемся к уравнению (7.15) и рассмотрим
случай, когда параметр t лежит в области t 1, tQ(T)- t 1,
так что 36t " 36*. Введем функцию /*:
(Z*)-1 /<// ... <// ехр [Ж [<т']}\
Г (#" • • • > О = (<,' + ". +q'n) '
116
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Для значений t из этой области ?в=1; следовательно,
?(", T) = CA^f{n(d~d,)f)e-d,r{eq е'?").
(7.41)
Уравнение (7.41) приводит к двум следствиям.
Первое следствие - правая часть (7.41) не зависит от Т, это означает, что
Т можно заменить на Тс:
Г (Чи ...гЧя,Т) = Т {qu ..., Чп> Тс). (7.42)
Единственным явным ограничением, налагаемым на уравнение (7.41), является
условие (7.16); поскольку f должно быть велико, это ограничение означает,
что |<7i|<C 1. При замене 361 на 36*, однако, мы пренебрегли в уравнении
(7.18) членом 36а, а это разумно только в том случае, если для всех |^|
имеем g-1 14i| (см. ниже).
Второе следствие - закон подобия (скейлинг), который можно сформулировать
для Т = Тс:
Г (Чи • • Чп, Tc) - s(n~l)d~ndsf{s4u s4n, Тс), (7.43)
где s - произвольный множитель масштабного преобразования, причем |<7i|<C
1 и s^il-C 1. [Для доказательства соотно* шения (7.43) вычислите функцию
r(s^i, ..., S4n, Тс), используя (7.41), где Чг заменены на а / на f = t -
Ins.] Закон подобия (7.43) является (с точки зрения физиков, занимающихся
