Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
Представим плотности ионов га,- и электронов пе в виде следующих сумм: лг = N0 + 6п; пе = N0-\-6n-\-6ne,
где N о — невозмущенная плотность плазмы; 6 п — низкочастотная модуляция плотности; Ьпв — высокочастотные осцилляции электронной плотности. Будем рассматривать динамику высокочастотных и низкочастотных компонент по отдельности, предполагая при этом, что высокочастотное электрическое поле колеблется с частотой, близкой к плазменной частоте ыре- Для временных
масштабов, соответствующих этим колебаниям, эволюция системы описывается уравнениями:
df)ne/dt + (д/дх) [(iV0 + 6п) ve\ = 0; (111.2а)
Е - -....3Г‘ х ; (III.26)
dt m m(N0-\-&n) дх
е0 дЕ/дх = — eS пе. (III.2в)
При записи уравнения для высокочастотной компоненты мы пренебрегли
наличием низкочастотной компоненты скорости ve, которая в комбинации с высокочастотной компонентой может давать дополнительный вклад.
В результате дифференцирования уравнений (Ш.2а) и (Ш.?б) получим
d2&ne/dt2 -{- (д/дх) [(Л'о + 6п) dvjdt] =0; д dve е дЕ 3 Те дЧпе
дх dt m дх m (N0 + S/z) дх2
При записи второго из этих уравнений учтено, что в адиабатическом приближении для электронов уе = 3. Комбинируя полученные уравнения, имеем
д2Ьпе Г е дЕ ЗТе дЧпеЛ
207
Кроме того, на основе (Ш.2в) получим следующее уравнение для электриче* ского поля:
д
дх
д*Е
f 6п \ „о &Е 1
( +----------- ) Е — 3v\,------------------ =0,
\ ^ N0 J Те дх* ]
дР ' Р* где vfe = Te/m.
Представим далее электрическое поле в виде 1 _
Е=—Е „ (/) ехр (— icope/) + к. с.
и воспользуемся приближенным равенством д2? 1 _
а/2
2ico,
'Ре dt
дЕ° 4- м2 Т
ре
пренебрегая второй производной Ео по времени. Тогда уравнение для поля E0(t):
ехр (— id),,*/) + к. с.,
получим следующее
1(0,
дЕ„ 'ре dt
+ 9 V
д*Еп
1
6 п
2 “Те дх3
2 ыре jV0 Е°-
(III.4)
Это уравнение описывает захват пакетов плазменных волн областями пониженной плотности плазмы.
С другой стороны, при временных масштабах, характерных для ионного движения, уравнение движения для электронов можно записать в виде
56п dvP
т (;V0 + 6п) дх дх
(III.5)
Здесь под Е„ подразумевается низкочастотная компонента поля, а слагаемым dve/dt, т. е. инерцией электронов, пренебрегают, причем электроны считаются изотермическими (¦уе=1). Динамика ионов описывается уравнениями
56 п
dt
— [(М0 + 6л)уг] = 0;
dv { dt
е
аГ
= —Es
3Tt
56 п
М (;V0 -j- бп) dx
здесь отброшено, и ионы считаются адиабатическими,
Слагаемое vidvi/dx т. е. у, = 3. В результате дифференцирования по времени получим
д26 п
dt2
dx
ддп ( е ЗТi
+ М> + б”)(—Es- Т
56 п
0.
dt \ m М -j- Sn) dx .
Опустим далее слагаемое (d/dx) (viddn/dt) и предположим, что 6n<CjV0. Исключив еще Es с помощью (III.5), придем к уравнению
д*8п (Те + ЗТг) дЧп Nm д( dve \
-¦ - (V^J- (Ш-6)
М dx
dt2 М дх1
В правой части этого уравнения фигурирует низкочастотная компонента, которая играет роль пондеромоторной силы, вызывающей модуляции плотности за характерное для ионов время. Эту компоненту можно выделить в результате следующей процедуры усреднения:
(vedve/dx) = (1/2) (д/дх) <у2> = (1/4) (d/dx) | ve |2, где \ve\—амплитудное значение ve. Учитывая, что dve/dt~—(e/m)E, имеем
и, следовательно,
{v^ldx) = (1/4) (е0/тЛГ0) д \ Е0 \2/дх.
Остается еще всномнить выражение для скорости ионно-звуковых колебаний c,=[(7’e+37'i)/МУ/2, чтобы придать (III.6) следующую окончательную форму;
тп/дР — t?s ёРбп/дх2 = (е0/4М) д* | ~Ё01W. (III. 7)
Это уравнение описывает модуляции плотности плазмы, а в совокупности с (III.4) образует самосогласованную систему уравнений, достаточную для рассмотрения модуляционной неустойчивости. Обобщение этой системы на трехмерный случай очевидно: для этого достаточно заменить производную д/дх оператором у и скалярное поле векторным полем Е. В результате получим систему (19.3).
