Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
dt m J о — kv
где в силу продольности рассматриваемого волнового движения E=E(k/ft). Используя дисперсионное уравнение e(ft), к)=0 совместно с (II.4) и (II.5), видим, что
da/dt=iaa, (II. 8)
т. е. введенную здесь величину а действительно можно принять в качестве нормального колебания. С учетом нелинейного слагаемого из (II.3) уравнение для этой величины приобретает вид
da qc С (Edf/dv)k
-gr_icoa = — — j j—dv. (II"9)
Уравнение (11.9) составляет основу для рассмотрения взаимодействия трех волн, удовлетворяющих резонансным условиям
к0 = к! + к* (11.10а)
и
(o0 = (o1 + ft)2. (11.106)
Например, для волны О имеем
да° . qc Г Zidfjdv + E^fjdv n
-gT-i«a0 = - —J ---------------—~ dv, (11.11)
где Ej = Ekt; = fk^ и т. д. Выполним интегрирование по частям в правой
205
части (11.11):
( E2d/t/dv t _ - Г /А
J ш —kv dv- — kE2j (оз — kv)2 O1-12)
и подставим в это соотношение линейное выражение
о Ek<3F0/3v
^ = 1 « О IfV ’ (ПЛЗ>
т а — kv
которое вытекает из линеаризованного уравнения (II.3) в предположении гармонической временной зависимости. В результате получим
Г Ё^/i/av , f EfFoldv
Jto — kv v~ m 2 J (со — kv)2 ((Oi — kxv) v' ( • )
Справедливо также соотношение вида (11.14) с перестановкой индексов 1 и 2.
Введем продольное поле
Ej = (ky/kj) Ej (11.15)
и диэлектрическую проницаемость второго порядка
_ Я Ш1 Г dv Г (k0k2) M/ydv ^ (kpk^ k2dF0/dv 1 (ц 16)
2т д/0^2 J (ш0 —k„v0)2 L (Oj — kjv ш2 —k2v J'
Подстановка (11.14) — (11.16) в (11.11) приводит к уравнению
da0/dt — ia0a0 = (2ie0c?ge(2V<??i?2) EtE2. (II. 17)
Дальнейшее преобразование этого уравнения выполним с помощью соотношений, вытекающих из (II.6) и (11.13):
iq С EkdFo№
а в —с \ -------------—-dv,
т J (со —kv)2
а также из (II.5):
де _
и— Ек = — -frr- \ ---------------——dv
Екд FJdv
да J (со — kv)2
Определяя с в виде c=iqafz<sk, находим
а = со (дг/да) ?к, (II. 18)
что представляет собой не что иное, как линейное соотношение между а и Ег введенное в гл. 5.
Для получения стандартной формы уравнений связанных волн остается переписать правую часть (11.17) с учетом (11.18). Результирующее уравнение принимает вид
da0/dt — iw0a0 = ci2aia2. (11.19)
где
Cl2 kxk2 oij (de/dati) ш2<Зе/Ло2' (11.20)
Аналогично можно вывести два других уравнения с коэффициентами
2^0Ш1
с°2 ~ ш0 (де/дсо0) со2де/дш2
и
2/г^а2 е^
c°i ~ Axft2 ш0 (дв/дсо0) щде/дщ ’
206
Отметим в заключение, что, в отличие от гл. 2, мы использовали здесь соотношения вида
f =hlk ехр (—ikf) + flexp (ikr), k
что эквивалентно иной нормировке динамических переменных и приводит к по-явлению дополнительного множителя 2 в выражениях для коэффициентов связи. Такая нормировка была использована в гл. 6 и 15.
ПРИЛОЖЕНИЕ III
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ,
ОПИСЫВАЮЩИХ МОДУЛЯЦИОННУЮ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
Будем исходить из гидродинамических уравнений движения в одномерной системе:
дпа
dva Ча ЧаТо. дп dva
‘"и«>
г0дЕ/дх =—е (пе— п{). (III.1в)
Индекс а указывает сорт частиц (в дальнейшем вместо т„ и т* будем писать т и М соответственно). Температура Т выражается в энергетических единицах.
