Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
<в{ + <»/ = (»; (5.28)
kj + к/ = (5.29)
Удерживая первое слагаемое в разложении (5.10), получаем
ехр (i(okf) (dD/da) dEok/dt --- --- Ук2). (5.30)
Смысл величины Ёоь ясен из определения
Ёк (/) = ?ок (t) ехр (iwk/). (5.31)
При | (d/dt) In Е0к | < (ок будем иметь
Л2) =^a|flu.lk/ (5.32)
где оц надо рассчитывать при частотах соА., ак. . Из (5.30) ---
(5.32) следует, что
-5Г = “ imr 2 а‘? Ёок, Ёок exp [i (сок. + сок. - сок) /]. (5.33)
Ясно, что условие взаимодействия (5.28) может быть выполнено лишь при частотных спектрах Eok, Eokt, Eokj, достаточно широких для того, чтобы перекрывалась расстройка
Аа> = шк. + Юк^. — соь.
Предполагая это условие выполненным, видим, что вклад во взаимодействие дают только те слагаемые из (5.33), для которых Асо<С1/т, где т — время взаимодействия.
Рассмотрим подробнее взаимодействие трех волн вида
Ej = (1/2) Ej (t) exp {i (со,/ + kyr)} -f к. c.
В этом случае сумма в (5.33) содержит всего одно слагаемое, удовлетворяющее условию резонанса
к0 = кх + К (5.34)
и мы приходим к уравнениям:
дЕ0 о\У----
~дГ = ~ ~дВ0/да ElE2 6Хр (“i + о2 — м0) /}; (5.35а)
-ср ст(2)____
т = ~ Е°Е'2 ехр {i (со° “'- “2) /}; (5-35б)
0(2)____
•— = — ~dD°Jda Е°Е* ехр ^ ^ — “1 ~ “г) 0- (5.35в)
Отметим, что в (5JJ56) и (5.35в) фигурируют комплексно-со-
пряженные величины Еч и Е\ , а расстройка частоты входит в эти 38
соотношения с отрицательным знаком. Как видно, система уравнений связанных волн (5.35) аналогична системе (3.17), но записана с помощью медленно меняющихся амплитуд электрических полей. Эту систему можно легко обобщить на случай различных направлений. Например, для волн с достаточно широким спектром по k необходимо удерживать не один, а несколько членов в правой части (5.33). Система уравнений, полученная таким образом (см. гл. 18), описывает эффекты резонансного уширения и эволюции к термодинамически-равновесному состоянию. Ее можно использовать также для альтернативной формулировки пространственно-временного взаимодействия.
Задачи
5.1. Множитель N.L. в правой части (5.9) возникает при учете членов второго порядка в разложении тока по электрическому полю. Объяснить физический смысл этого множителя при условии, что энергия сохраняется.
5.2. Как видно из (5.18), соотношение между А и Е (вообще между А и любой полевой величиной) содержит производные высшего порядка от Е. Они (а следовательно, и соотношение между А и Е) могут изменяться во времени. Проследить связь между этим фактом и выводом, содержащимся в гл. 3.
5.3. Рассмотрим модель плазмы, в которой движение электронов подчиняется уравнению
dv/dt + \dv/dx = — (е/т) Е.
Предположим, что все величины изменяются только в направлении х и что это изменение обусловлено волнами с частотами ш, coi, ш2 и волновыми векторами k, kt и к2, такими, что (o=coi + co2 и k = ki + ka (д/дх=—ikj). В линейном приближении получим проводимость первого порядка
а( 1 > = — ieoWp/co (1?и = — eNvk).
Найти проводимость второго порядка о<2>, описывающую вклад в квадратичных относительно поля слагаемых вида Ek^t
5.4. Пусть E=g((o)AW, где g(со) определено так, что ?>(<*>, k)g(со) = =/г"(со—(Во) (со—<Bi). Записать уравнение для амплитуды Л(г), аналогичное
(5.10), в предположении, что ?>(со0, /г)=0 и coi произвольно.
5.5. Выразить величину д (W) fdt через амплитуды ? и Л (или их произведение) и проинтегрировать ее в первом приближении по дисперсионным эффектам.
5.6. Получить уравнение движения для случая комплексных частот {0) = c0r+iVj, используя разложения в окрестности вещественной части частоты.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Цытович В. Н. Нелинейные эффекты в плазме. М., Наука, 1967.
2. Askne J. Dissertation. Goteborg, Chalmers Univ. of Technology, 1970; Intern.
J. Electronics, 1972, v. 32, p. 573.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУР 4
Jackson E. A., Raether M. — Phys. Fluids, 1973, v. 16, p. 1378. Harker K. J., Crawford F. W. — J. Plasma Phys., 1974, v. 11, p. 435.
39
ГЛАВА 6
ТРЕХВОЛНОВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ПЛАЗМЕ
В гл. 3 рассматривалась простейшая модель взаимодействия двух поперечных и одной продольной волны. Обсудим теперь гидродинамическую и кинетическую модели. Последняя дает более детальное описание, так как в ней учитывается распределение частиц по скоростям. Однако гидродинамическое описание нагляднее, поскольку оперирует непосредственно с такими основными параметрами плазмы, как плотность, давление и т. п.
