Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
что дает
(d/di + Vgd/dz) Ё,- = (dD/da>)~1 N. L. (5.14)
Последнее соотношение указывает на то, что рассмотрение пространственно-однородных, но нестационарных, и наоборот, ста-' ционарных, но пространственно-неоднородных распределений поля сводится к решению аналогичных уравнений с тем отличием, что
2* 35
во втором случае коэффициент связи имеет дополнительный множитель vg.
Описание нелинейного взаимодействия в представлении нелинейных токов обладает преимуществом физической наглядности, но вместе с тем необходимость введения производных высшего порядка в левой части (5.10) является некоторым недостатком такого подхода. Напомним, что в теории связанных волн фигурируют только производные первого порядка от нормальных колебаний. Так происходит потому, что в этой теории не используются линейные соотношения между динамическими переменными, соответствующие гармонической временной зависимости.
Рассмотрим теперь связь между описанными подходами. Подставляя в (5.9) соотношение Ea = f(<s>)Aa, находим
D (со, k) f (со) = — iN. L. (5.15)
Как видно, амплитуде Ат отвечает новая дисперсионная функция D{к», k)f(a). Условие исчезновения производных высшего порядка можно записать в виде
(д/да>) [D (со, k) f (w)] = k', (5.16)
где k' — постоянная. Используя это соотношение, получаем
А) = (l/k') (со — со/Г1 D (со, к)Ё* (5.17)
или после разложения в окрестности aj
1 [dD (a,k) i d2D (со, k) дЕ 1
—д^Е~т—Щ--ЗГ+ ¦ • -г <5Л8>
При записи (5.18) принято &' = ео и, кроме того, подразумевается, что коэффициенты разложения заданы при o) = a)j.
Формула (5.18) определяет общее соотношение между А и Еу вытекающее из требования обращения в нуль производных высших порядков в левых частях уравнений движения, записанных с использованием Л, и в этом смысле может рассматриваться как определение А. В линейном приближении, удерживая лишь первый член в правой части (5.2), имеем
А = (1 /е0) [dD (со, k)/da>] Е, (5.19)
что дает
¦Al = (д/да) (coeL) Ё (5.20)
для продольных волн и
Ат = (1/со) (д/да) (а2гт) Е (5.21)
для поперечных волн.
Учитывая дисперсионное уравнение для продольных волн
(еь = 0), (5.20) можно представить в виде, аналогичном (5.21).
В то же время (5.21) нельзя записать в форме (5.20), поскольку
дисперсионное уравнение поперечных волн есть гт=к2с2/со2.
Отметим, что определение А зависит от выбора постоянной k Выше мы_положили k'=s0 для того, чтобы соотношения между Ат. Аь и Е имели привычный вид (5.20) и (5.21).
36
Линейное затухание и неустойчивость
Если в линейном приближении учесть диссипацию энергии волны, обусловленную, например, столкновениями или затуханием Ландау, то при вещественных kj дисперсионное уравнение
D (со/, к/) = 0 (5.22)
будет иметь комплексные решения
coy = сог/ + ivj. (5.23)
Для временной зависимости вида exp(icojO случай Vj>0 соответствует затуханию волны, a Vj<0 — линейной неустойчивости.
При учете нелинейного взаимодействия имеем
D (со, k;) = Z) (со/, к;-) -f- (со — со;) [dD (со, к)/Зсо]и_и . (5.24)
Подставим вместо со оператор, включающий производную по времени и действующий на амплитуду волны в соответствии с (5.9). Вспоминая, что наличие мнимой части Vj также приводит к зависимости амплитуды волны от времени, можно записать
со = сог/ — \djdt, (5.25)
где d/dt описывает полное временное изменение амплитуды. Тогда получим
и — coy = — i д/dt — ivy (5.26)
и далее
dEj/dt + vjEj = (dD/da)~l N. L. (5.27)
Это соотношение обобщает (5.1Q) на случай учета линейного затухания или нарастания. Из-за наличия мнимой части v;- множитель (dD/dcо)-1 дает вклад в мнимую часть коэффициента связи. Этот вклад можно рассчитать также при рассмотрении проводимости во втором порядке.
Связанные уравнения для волн
Для простоты ограничимся учетом только первого слагаемого в (5.10) и пренебрежем возможностью линейного затухания или нарастания. Возвратившись к соотношению (5.10), перепишем его в следующем виде:
D(со, k)Еа = i7i,2).
Напомним, что нижний индекс со введен для обозначения пространственно-временной фурье-компоненты (для фурье-компонент по пространственным переменным будем использовать индекс k). Для дальнейшего упрощения предположим, что спектр по k состоит из дискретного набора линий. Тогда
где присутствуют только компоненты, удовлетворяющие соотношениям