Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Весьма полезными для автора были беседы с Я- А. Смородинским и его учениками о применениях теории представлений групп и интегральных преобразований в физике.
В. В. Цукерман взял на себя нелегкий труд по проверке формул. Большое внимание уделил рукописи на всех этапах ее прохождения
А. 3. Рыбкин. С. А. Виленкина перепечатывала многочисленные варианты рукописи. Выражаю им благодарность за большую помощь, значительно облегчившую подготовку рукописи к печати.
Н. Виленкин
ВВЕДЕНИЕ
Специальные функции математической физики появляются чаще всего при решении уравнений в частных производных методом разделения переменных или при отыскании собственных функций дифференциальных операторов в некоторых криволинейных системах координат. Но. дифференциальные операторы математической физики обычно обладают определенными свойствами инвариантности. Так, оператор Лапласа
д = 4-^-4-
дх2 1 ду2 ' дг2
инвариантен относительно движений евклидова пространства, волновой оператор
I—|___ д2 , д2 . д2 д2
'—' дх2 • д_у2 * dz2 dt2
инвариантен относительно преобразований группы Лоренца и т. д. Это облегчает разыскание собственных функций операторов. Теория представлений групп и позволяет учитывать инвариантность операторов математической физики.
Именно, пусть линейный оператор А инвариантен относительно некоторой группы преобразований Q. Можно показать, что тогда эти преобразования переводят собственные функции оператора в собственные функции, отвечающие тому же собственному значению. Тем самым элементам группы О ставится в соответствие линейное преобразование T(g) в пространстве собственных функций, причем выполняется равенство
т Ы т Ы =7 toft)- (1)
Операторные функции на группах, обладающие свойством (1), называют представлениями групп. Таким образом, собственные функции инвариантных операторов связаны с представлениями группы, относительно которой инвариантен этот оператор. Знание этих представлений облегчает разыскание собственных функций и позволяет выяснить их поведение при преобразованиях данной группы.
Операторы представления Т(g) можно задать в матричной форме, выбрав некоторый базис в пространстве представления. При этом
18
ВВЕДЕНИЕ
появляются числовые функции на группе — матричные элементы представления. Но элементы групп, существенных для математической физики, задаются обычно числовыми параметрами. Например, элементы группы движений евклидовой плоскости задаются координатами (а, Ъ) образа точки 0(0, 0) и углом поворота <р; элементы группы вращений трехмерного евклидова пространства — углами Эйлера <р, 0, ф и т. д. Таким образом, изучая представления групп, мы приходим к числовым функциям от нескольких переменных.
Разумеется, желательно выразить эти функции через функции от возможно меньшего числа переменных и лучше всего через функции одного переменного. Оказалось, что такое выражение существует для некоторых групп (группы вращений трехмерного пространства, группы движений евклидовой плоскости и т. д.). Для этих групп можно так выбрать базис в пространстве представления, что элементы некоторой подгруппы Н задаются диагональными матрицами, на главной диагонали которых стоят показательные функции. Остальные же элементы групп можно представить в виде hflh^, где hb h.2 ^ Н, а б (t) пробегает некоторое однопараметрическое многообразие.
Используя это обстоятельство, удается выразить матричные элементы представлений таких групп через показательную функцию и функции от одного параметра t. Оказалось, что эти функции совпадают с классическими специальными функциями математической физики. Так, представления группы движений евклидовой плоскости оказались связанными с функциями Бесселя Jn{t), группы вращений трехмерного евклидова пространства — с функциями Лежандра и Якоби и т. д. Отметим, что появление показательной функции также не является случайным: функции вида eint, где я— целое число, задают представления группы вращений евклидовой плоскости.
При изучении более сложных групп (группы вращений я-мерного евклидова пространства, группы всех движений этого пространства, группы Лоренца и т. д.) оказалось, что не все матричные элементы представлений этих групп выражаются через уже известные специальные функции. Лишь для части матричных элементов удалось получить такие выражения, а для остальных понадобились функции, ранее не встречавшиеся в математическом анализе. Эти новые функции обладают столь же разнообразными свойствами, как и классические специальные функции (см. [121]).
Таким образом, существует связь между специальными функциями и матричными элементами представлений групп. Необходимо отметить, что эта связь зависит и от выбора подгруппы Н, элементы которой в данной реализации изображаются диагональными (или, в общем случае, клеточно-диагональными) матрицами. Поэтому с одной и той же группой могут оказаться связанными различные специальные функции в зависимости от того, для какой подгруппы Н «диагона-
