Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Дальнейшие работы в этой области стимулировались исследованиями И. М. Г'ельфанда, М. А. Наймарка и их учеников и сотрудников в области бесконечномерных представлений групп. В ходе этих исследований была установлена связь теории представлений групп с авто-морфными функциями, построена теория специальных функций над конечными полями, специальных функций в однородных областях и т. д.
Целью данной книги является систематическое изложение теории специальных функций с групповой точки зрения. При этом мы ограничились изучением классических специальных функций и тем самым простейших групп.
Книга состоит из одиннадцати глав. В первой главе изложены основные понятия и факты теории групп преобразований и представлений групп.
Во второй главе разобраны два модельных примера — аддитивная группа вещественных чисел и группа вращений окружности. Эти группы приводят соответственно к показательной и тригонометрическим функциям. В этой главе, кроме того, изложены некоторые факты классического гармонического анализа — теория рядов и интегралов Фурье в вещественной и комплексной областях.
Третья глава посвящена представлениям группы вращений трехмерного евклидова пространства и локально изоморфной ей группы SCI(2) унитарных унимодулярных матриц второго порядка. Матричные элементы неприводимых унитарных представлений этих групп выражаются через многочлены Лежандра и Якоби. Поэтому из общих свойств матричных элементов вытекают различные соотношения для этих многочленов (соотношения ортогональности и полноты, рекуррентные формулы, теорема сложения и т. д.). В конце главы рассмотрен дискретный аналог многочленов Якоби — коэффициенты Клебша—Гордана.
В четвертой главе изучены представления группы движений евклидовой плоскости. Матричные элементы представлений этой группы выражаются через функции Бесселя, что позволяет вывести ряд свойств функций Бесселя из теоретико-групповых соображений. Дальнейшие свойства функций Бесселя и тесно связанных с ними функций Ганкеля и Макдональда изучены в главе V, посвященной представле-
ПРЕДИСЛОВИЕ
15
ниям группы движений псевдоевклидовой плоскости. В этой главе выведен ряд интегралов по индексу для цилиндрических функций. В начале главы рассмотрены группа линейных преобразований прямой линии и теория Г-функции.
В шестой и седьмой главах рассмотрены представления группы вещественных унимодулярных матриц второго порядка. Представления этой группы связаны с несколькими классами специальных функций. В шестой главе изучены функции конуса Р i ^ _^(ch 6). В седьмой
главе рассмотрена реализация представлений в виде интегральных операторов, ядром которых служит гипергеометрическая функция. Отсюда выводится ряд свойств гипергеометрической функции, как хорошо известных (интегральное представление Меллина — Бернса), так и новых. В главе VIII аналогичным образом изучена вырожденная гипергеометрическая функция, точнее говоря, тесно связанные с ней функции Уиттекера. Показано, что теория функций Уиттекера основана на изучении представлений группы треугольных матриц третьего порядка. Исходя из этого, выведены различные свойства функций Уиттекера — интегральные представления, рекуррентные формулы, континуальные теоремы сложения. В этой же главе рассмотрены многочлены Лагерра и выведена для них формула сложения.
Все группы, рассмотренные в главах II — VIII, имеют весьма простую структуру. Более сложные группы рассмотрены в главах IX — XI, а именно, группы движений я-мерной сферы, я-мерного пространства Лобачевского и я-мерного евклидова пространства. Однако при этом мы рассматриваем не все неприводимые представления этих групп, а лишь так называемые представления класса 1, и не все матричные элементы представлений, а лишь матричные элементы «нулевого столбца». Этого оказывается уже достаточно, чтобы построить теорию многочленов Гегенбауэра и гармонических многочленов, а также получить разложение функций на я-мерной сфере и гиперболоиде. В главе XI выведены дальнейшие свойства функций Бесселя.
К сожалению, объем книги не позволил остановиться на некоторых вопросах, связанных с теорией представлений и специальными функциями. Так, не была рассмотрена группа движений я-мерного псевдоевклидова пространства. Остались почти не освещенными асимптотические свойства специальных функций. Впрочем, изложенные в
16
ПРЕДИСЛОВИЕ
книге интегральные представления этих функций позволяют получить их асимптотические разложения обычными методами (см. [6], [62]).
Автор приносит глубокую благодарность И. М. Гельфанду, советами и указаниями которого он пользовался в течение всей работы над книгой, и роль которого в создании книги трудно переоценить. Автор благодарит также М. А. Наймарка, М. И. Граева, И. И. Пятец-кого-Шапиро, Ф. А. Березина, Ф. И. Карпелевича, С. Г. Гиндикина, Д. П. Желобенко, с которыми часто обсуждал вопросы теории представлений групп и теории специальных функций. Многочисленные советы М. И. Граева повлияли па трактовку некоторых вопросов и окончательное расположение материала.
