Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
СО со
J J*ye-*Ha(x)dx = {-\r J e!*y^(e-*2)dx.
— СО — со
Интегрируя п раз по частям и применяя теорему Коши, получаем
СО ОО
$ е!х"е л 77л (х) dx = (iyf jj е~**+Ю dx =
— со — со
— У1. 00 ( _!У\2 00
= (iy)ne 4 J « \ 2/ dx = (iy)ne 4 J e~*3dx =
— со — oo
= Y^(iyfe *.
В силу формулы обращения Фурье получаем отсюда 00 Х2 j y'e^e-y'dy = (4)" V * е~ Нп (х).
— ОО
Используя же соотношения ортогональности для многочленов Эрмита, выводим, что
СО v2
I ^".w=*T+w
n = О
(см. формулу (6) п. 2).
5. Предельный переход по размерности для группы М (я). Рассмотрим теперь предельный переход по размерности для группы
562 ГРУППА ДВИЖЕНИЙ Л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. XI
М(п). Как было показано в п. 2 § 3, зональные сферические функции для этой группы имеют вид
— —?i?+il_ С eixtn __ rf'"* dty п)
ЙГ
где р = п 2. Сделаем в интеграле (1) подстановку t = заме-
У Р
ним х на х У р и перейдем к пределу при р —> со. Мы получим
_ ОО
lim ==_!= С eilxa dn = e~*2
р - со (X У р)Р V *
(см. формулу (1) п. 4). Асимптотическое разложение левой части этого равенства при р—*со получено в работе [128].
ЛИТЕРАТУРА
Монографии и учебные пособия
1. Ахиезер Н. И., Г лазман И. М., Теория линейных операторов, Гос-техиздат, 1950.
2. Багавантам С. и Венкатарайуду Т., Теория групп и ее применения к физическим проблемам, ИЛ, 1959.
3 Бауер Э., Введение в теорию групп и ее приложения к квантовой физике, ГТТИ, 1937.
4. Б е й м а н Б. Ф., Лекции по применению теории групп в ядерной спектроскопии, Физматгиз, 1961.
5. Бохнер С., Лекции об интегралах Фурье, Физматгиз, 1962.
6. Брейн де Н. Г., Асимптотические методы в анализе, ИЛ, 1961.
7. Ван дер Верден Б. Л., Метод теории групп в квантовой механике, ДНВТУ, Харьков, 1938.
8. Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, ч. I, ИЛ, 1947.
9. Вейль А., Интегрирование в топологических группах и его применения, ИЛ, 1950.
10. Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, ИЛ,
1947.
11. Вигнер Е., Теория групп, ИЛ, 1961.
12. Винер Н., Пэли Р., Преобразование Фурье в комплексной области, «Наука», 1964.
13. Г е льфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, изд. 2-е, Гостехиздат,
1951.
14. Г е л ь ф а и д И. М. и Виленкин Н. Я., Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства (Обобщенные функции, вып. 4), Физматгиз, 1961.
15. Г е л ь ф а н д И. М., Г р а е в М. И., В и л е н к и н Н. Я-, Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений (Обобщенные функции, вып. 5), Физматгиз, 1962.
16. Г е л ь ф а н д И. М., М и н л о с Р. А., Шапиро 3. Я-, Представления
группы вращений и группы Лоренца, Физматгиз, 1958.
17. Г е л ь ф а н д И. М., Н а й м а р к М. А., Унитарные представления классических групп, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова 36, 1950.
18. Г е л ь ф а н д И. М., Ill и л о в Г. Е., Обобщенные функции и действия
над ними (Обобщенные функции, вып. 1), изд. 2-е, Физматгиз, 1959.
19. Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, ИЛ,
1952.
20. Г р а д ш т е й н И. С., Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм и произведений, Физматгиз, 1962.
21. Грей Э., Мэтьюз Г. Б., Функции Бесселя и их приложения к физике и механике, ИЛ, 1953.
ш
ЛитеРатуРа
22. Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, ИЛ, 1948.
23. Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, изд. 2-е, Физматгиз, 1962.
24. Кар тан Э., Теория спиноров, ИЛ, 1947.
25. Картан Э., Геометрия групп Ли и симметрические пространства, ИЛ,
1949.
26. К а ч м а ж С., Ш г е й н г а у з Г, Теория ортогональных рядов, Физматгиз, 1958.
27. Коренев Б. Г., Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях, Физматгиз, 1960.
28. Кратцер А., Франц В., Трансцендентные функции, ИЛ, 1963.
29. Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, т. 1, 1951.
30. Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Квантовая механика, ч. I, изд. 2-е, Физматгиз, 1963.
31. Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, изд. 2-е, Физматгиз, 1963.
32. Левитан Б. М., Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка, Гостехиздат, 1950.
