Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 225

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 219 220 221 222 223 224 < 225 > 226 227 228 229 230 231 .. 241 >> Следующая

ствует треугольник со сторонами I, т., п, то

f И, (л) Нт (дг) И, w «-»¦ dx:= (14)

— со

В противном случае этот интеграл равен нулю.

Из формулы (7) п. 3 § 4 главы IX вытекает:

2 -}¦ <15)

л— О

Предоставляем читателю детально провести соответствующие предельные переходы. Впрочем, разложение (15) можно получить и исходя из формулы (12), сделав подстановку ху -\-V~l—хН = и и исполь-
§ И многочлены эрмита 559

зовав соотношения ортогональности для многочленов Эрмита (см. ниже п. 3). Тем же путем из формулы (11) получаем

x"Hn(y)Hn+k(z)

2пп\

п— О

k 4-1

= (1-*2) ^ ехр [*Хуг ~ t У+--- Л'- ] Я» . (16)

3. Соотношения ортогональности для многочленов Эрмита.

Из соотношений ортогональности для многочленов Гегенбауэра вытекают следующие соотношения ортогональности для многочленов Эрмита:

°° ( 0, если т. Ф п,

\ е~*2 Hn{x)Hm{x)dx = \ г- (1)

1 2п\ у тс, если т = п.

Из соотношений (1) вытекает, что функции

—-г=Т=НЛх), (2)

22 \ к2п\

л = 0, 1, ..., образуют ортонормированную систему в пространстве функций f(x) на оси, имеющих интегрируемый квадрат. При этом в силу полноты системы многочленов Гегенбауэра система функций (2) полна.

Отсюда следует, что любая функция на оси, такая, что

СО

1/1= J |/(a:)|2^<+oo,

- СО

разлагается в сходящийся в среднем ряд вида

оо х-

/с*о= 2 2 нлх), (3)

п.—0

где

СО х2

an = 2njy-" j f(x)Hn(x)e~~*~dx. (4)

— СО

При этом имеет место равенство Парсеваля

со оо

J \/(x)^dx=^2^y^\an\K (5)

— со п -*=0
560 ГРУППА ДВИЖЕНИЙ л-МР.РНОГО ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. XI

я-

4. Преобразование Фурье функций е 2 Нп (дс). Функции

X'1

е 2 Нп (лг) обладают следующим замечательным свойством инвариантности относительно преобразования Фурье:

оо х2 у-

5 е1Хуе 2 Нп(х)(1х=.уъъ1пе 2 Нп(у). (1)

— со

Чтобы доказать это свойство, применим формулу (6) п. 1. С помощью теоремы Коши получим

СО X2

^ е‘ху е 2 Нп (дг) dx =

2пе—2 ? <2 =

= ?y=r~ \ J е 2 {x + i?fe-‘adtdx =

— со

- оо — со V2

— со - /у со

2 nine

V п

— со — гу — оо 3.1 У2

>Тя+2\„-Т 00 00

9 г г inP

11 --'s-‘-dt dx.

- УН J J e"',(T5+t‘)Vf

— CO — CO 4 '

Вновь применяя формулу (6) п. 1, находим

W л

J е‘хуе 2 Hn(x)dx

" + 1 _ ,. , , _ V ¦

= 2 2 ine 2 j Нп (Ш- j = /2* i»//„ О) <Г "а

(см. формулу (14) п. 2). Тем самым равенство (1) доказано.

Равенство (1) дает новое доказательство формулы обращения для преобразования Фурье. Именно, из результатов п. 3 вытекает, что любую функцию f(x) с интегрируемым квадратом можно разложить в ряд вида

оо ______^

f(x)= 2 апе 2 Нп(х). rt=0

Из этого разложения и формулы (1) вытекает *

оо со _

Р(У)= \ eix?f(x)dx~Y2-v.'yxanine 2 Нп(у).

— сх? п = 0
§ 41 МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА 561

Второй раз применяя формулу (1), убеждаемся, что

ОО СО X2

J e~^F(y)= 2 а*е 2 Hn{x)=f(x).

— со п = О

Тем самым доказана формула обращения для преобразования Фурье. Аналогично доказывается справедливость формулы Планшереля:

СО СО СО

jj lf(x)l°dx = ± j \F(y)\*dy = 2 2»/ilK«|e„|>.

— со — со п — ()

Найдем теперь преобразование Фурье функции е~х1Нп(х). Приме* няя формулу (5) п. 2, убеждаемся, что
Предыдущая << 1 .. 219 220 221 222 223 224 < 225 > 226 227 228 229 230 231 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed