Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
ствует треугольник со сторонами I, т., п, то
f И, (л) Нт (дг) И, w «-»¦ dx:= (14)
— со
В противном случае этот интеграл равен нулю.
Из формулы (7) п. 3 § 4 главы IX вытекает:
2 -}¦ <15)
л— О
Предоставляем читателю детально провести соответствующие предельные переходы. Впрочем, разложение (15) можно получить и исходя из формулы (12), сделав подстановку ху -\-V~l—хН = и и исполь-
§ И многочлены эрмита 559
зовав соотношения ортогональности для многочленов Эрмита (см. ниже п. 3). Тем же путем из формулы (11) получаем
x"Hn(y)Hn+k(z)
2пп\
п— О
k 4-1
= (1-*2) ^ ехр [*Хуг ~ t У+--- Л'- ] Я» . (16)
3. Соотношения ортогональности для многочленов Эрмита.
Из соотношений ортогональности для многочленов Гегенбауэра вытекают следующие соотношения ортогональности для многочленов Эрмита:
°° ( 0, если т. Ф п,
\ е~*2 Hn{x)Hm{x)dx = \ г- (1)
1 2п\ у тс, если т = п.
Из соотношений (1) вытекает, что функции
—-г=Т=НЛх), (2)
22 \ к2п\
л = 0, 1, ..., образуют ортонормированную систему в пространстве функций f(x) на оси, имеющих интегрируемый квадрат. При этом в силу полноты системы многочленов Гегенбауэра система функций (2) полна.
Отсюда следует, что любая функция на оси, такая, что
СО
1/1= J |/(a:)|2^<+oo,
- СО
разлагается в сходящийся в среднем ряд вида
оо х-
/с*о= 2 2 нлх), (3)
п.—0
где
СО х2
an = 2njy-" j f(x)Hn(x)e~~*~dx. (4)
— СО
При этом имеет место равенство Парсеваля
со оо
J \/(x)^dx=^2^y^\an\K (5)
— со п -*=0
560 ГРУППА ДВИЖЕНИЙ л-МР.РНОГО ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. XI
я-
4. Преобразование Фурье функций е 2 Нп (дс). Функции
X'1
е 2 Нп (лг) обладают следующим замечательным свойством инвариантности относительно преобразования Фурье:
оо х2 у-
5 е1Хуе 2 Нп(х)(1х=.уъъ1пе 2 Нп(у). (1)
— со
Чтобы доказать это свойство, применим формулу (6) п. 1. С помощью теоремы Коши получим
СО X2
^ е‘ху е 2 Нп (дг) dx =
2пе—2 ? <2 =
= ?y=r~ \ J е 2 {x + i?fe-‘adtdx =
— со
- оо — со V2
— со - /у со
2 nine
V п
— со — гу — оо 3.1 У2
>Тя+2\„-Т 00 00
9 г г inP
11 --'s-‘-dt dx.
- УН J J e"',(T5+t‘)Vf
— CO — CO 4 '
Вновь применяя формулу (6) п. 1, находим
W л
J е‘хуе 2 Hn(x)dx
" + 1 _ ,. , , _ V ¦
= 2 2 ine 2 j Нп (Ш- j = /2* i»//„ О) <Г "а
(см. формулу (14) п. 2). Тем самым равенство (1) доказано.
Равенство (1) дает новое доказательство формулы обращения для преобразования Фурье. Именно, из результатов п. 3 вытекает, что любую функцию f(x) с интегрируемым квадратом можно разложить в ряд вида
оо ______^
f(x)= 2 апе 2 Нп(х). rt=0
Из этого разложения и формулы (1) вытекает *
оо со _
Р(У)= \ eix?f(x)dx~Y2-v.'yxanine 2 Нп(у).
— сх? п = 0
§ 41 МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА 561
Второй раз применяя формулу (1), убеждаемся, что
ОО СО X2
J e~^F(y)= 2 а*е 2 Hn{x)=f(x).
— со п = О
Тем самым доказана формула обращения для преобразования Фурье. Аналогично доказывается справедливость формулы Планшереля:
СО СО СО
jj lf(x)l°dx = ± j \F(y)\*dy = 2 2»/ilK«|e„|>.
— со — со п — ()
Найдем теперь преобразование Фурье функции е~х1Нп(х). Приме* няя формулу (5) п. 2, убеждаемся, что