Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 206

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 200 201 202 203 204 205 < 206 > 207 208 209 210 211 212 .. 241 >> Следующая


А = 0

Представления Тп~х’k (h) реализуются в подпространствах k

состоящих из значений на сфере Sn^ однородных гармонических многочленов степени k от п—1 переменного. При этом для различных k представления Tn~x’k(h) неэквивалентны.

Обозначим через пространство функций F (|') на сфере S'

для которых

ц/711*= S \F №?<%< +<Х>. (2)

Предположим, что X— инвариантное подпространство в пространстве (S'1'*). Из разложения (1) и попарной неэквивалентности представлений Тп л’к(й) вытекает, что X является прямой суммой некоторых из подпространств 1,А, 0 ^ k<^oo, и потому содержит по крайней мере одно из этих подпространств:

з

j

Нам осталось показать, что если инвариантное подпространство X содержит одно из подпространств 4?" * и о не является целым

числом, то т содержит и все остальные подпространства <§>л~1-т, а потому совпадает с подпространством 2.
§21 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССА 1 ГРУППЫ SH (л) 509

Из инвариантности X относительно операторов Тпа (g) вытекает, что X инвариантно и относительно инфинитезимальных операторов этого представления. Вычислим инфинитезимальный оператор, соот-кетствующий подгруппе гиперболических вращений g„_i(a) в плоскости (хп, хп j). Применяя формулу (6) п. 1, убеждаемся, что

da

Таким образом,

= — О COS ср. %Fl — sin ср „

0 тл-i 1 тл i dcosf,,^

А = ~а cos Тл_, — sin» сря_, . (3)

Предположим теперь, что инвариантное подпространство X содержит подпространство фл"1,А. Согласно п. 2 § 3 главы IX одной из

п — 3

функций подпространства является функция Ck 2 (cos срл 2).

Так как подпространство X инвариантно, оно должно содержать и

функцию

п — 3

ACk 2 (coscp„„2) =

п — 3 п — 1

= — a COS cp„_g Ck 2 (COS срл 2) (^ " _ 3) sin2 срл__2 Cfc i (COS cp„_jj). (4)

Применяя рекуррентные соотношения

« ® «+ ¦«+Щтпг c’ - ¦«

И

(1 - р) cpn ±! (t)=2-^ tci (t) - Cl +, (t)

для многочленов Гегенбауэра (см. п. 2 § 3 главы IX) убеждаемся,

что ? содержит функцию •)

л — 3 (Л + 1 )(k— а) я —3

ACk 2 (cos ср„..а)= 2k + n — 3 С*+i (cos ср„.а)—

— (n + fe"-4)(n + fe + a-3) ^

2k + n — 3 * -' *¦ Чп-л)-

л — З /1—3

Ho Ck^ , (cos срл_2) ?= ф"-1. *+• и ^ , (cos cp„_g) ?= ^л"1- *-*. При этом, если о — нецелое число, то коэффициенты при многочленах Гегенбауэра в формуле (5) отличны от нуля.

з

2

*) При 4 = 0 мы считаем Ck _ ] (cos <рл^2) = 0
510 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. X

Из разложения (1) вытекает, что если % содержит сумму ненулевых функций из подпространств ф""1-* 1 и <5" 1,А+1> т0 оно содержит и эти подпространства.

Итак, мы доказали, что если о не является целым числом, то инвариантное подпространство X вместе с каждым подпространством *’* содержит подпространства и (при k=0 —

подпространство *и). Поэтому X содержит все подпространства фл_1,т и, следовательно, совпадает с I*2 (S'1"4). Неприводимость представления Т1* (g) (а значит, и Sna (g)) доказана.

4. Приводимость представления Tna(g) при целых значениях а.

Рассмотрим теперь случай, когда з = k — целое неотрицательное число. Покажем, что в этом случае представление Tnk(g) приводимо. Именно, инвариантным подпространством в 2i(Sn 2) является пространство 51п-1> * многочленов степени k от переменных ... , ,.

В самом деле, очевидно, что эго подпространство инвариантно относительно преобразований Тлк (h) F (|F) = F(hr1|'), соответствующих элементам h(?SO(n—1). Возьмем теперь гиперболическое вращение gn_i(а) в плоскости (хп, хпЛ). Если F(;„ ..., — многочлен степени ? от л, то и

тпк \gn A О)] F • • • > tn l) = (ch а — ^п-л sli V)k X

w р I______?1_______ ______S/г—a___ S/i—i Д sh a \ ,,.

^ \ ch а — Ел-! sh а ’ ’ ch а — sh а ’ ch а — sh a j ’

является многочленом от ... , 1пЛ той же степени.

Инвариантное подпространство 31л_1> k является прямой суммой подпространств 4?л 1,;> 0 =<:/:<:?. Это вытекает из доказанного в п. 6 § 2 главы IX разложения однородных многочленов, и из того, что любой многочлен степени k может быть представлен в виде суммы однородных многочленов степени j, O^j^k.
Предыдущая << 1 .. 200 201 202 203 204 205 < 206 > 207 208 209 210 211 212 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed