Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
А = 0
Представления Тп~х’k (h) реализуются в подпространствах k
состоящих из значений на сфере Sn^ однородных гармонических многочленов степени k от п—1 переменного. При этом для различных k представления Tn~x’k(h) неэквивалентны.
Обозначим через пространство функций F (|') на сфере S'
для которых
ц/711*= S \F №?<%< +<Х>. (2)
Предположим, что X— инвариантное подпространство в пространстве (S'1'*). Из разложения (1) и попарной неэквивалентности представлений Тп л’к(й) вытекает, что X является прямой суммой некоторых из подпространств 1,А, 0 ^ k<^oo, и потому содержит по крайней мере одно из этих подпространств:
з
j
Нам осталось показать, что если инвариантное подпространство X содержит одно из подпространств 4?" * и о не является целым
числом, то т содержит и все остальные подпространства <§>л~1-т, а потому совпадает с подпространством 2.
§21 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССА 1 ГРУППЫ SH (л) 509
Из инвариантности X относительно операторов Тпа (g) вытекает, что X инвариантно и относительно инфинитезимальных операторов этого представления. Вычислим инфинитезимальный оператор, соот-кетствующий подгруппе гиперболических вращений g„_i(a) в плоскости (хп, хп j). Применяя формулу (6) п. 1, убеждаемся, что
da
Таким образом,
= — О COS ср. %Fl — sin ср „
0 тл-i 1 тл i dcosf,,^
А = ~а cos Тл_, — sin» сря_, . (3)
Предположим теперь, что инвариантное подпространство X содержит подпространство фл"1,А. Согласно п. 2 § 3 главы IX одной из
п — 3
функций подпространства является функция Ck 2 (cos срл 2).
Так как подпространство X инвариантно, оно должно содержать и
функцию
п — 3
ACk 2 (coscp„„2) =
п — 3 п — 1
= — a COS cp„_g Ck 2 (COS срл 2) (^ " _ 3) sin2 срл__2 Cfc i (COS cp„_jj). (4)
Применяя рекуррентные соотношения
« ® «+ ¦«+Щтпг c’ - ¦«
И
(1 - р) cpn ±! (t)=2-^ tci (t) - Cl +, (t)
для многочленов Гегенбауэра (см. п. 2 § 3 главы IX) убеждаемся,
что ? содержит функцию •)
л — 3 (Л + 1 )(k— а) я —3
ACk 2 (cos ср„..а)= 2k + n — 3 С*+i (cos ср„.а)—
— (n + fe"-4)(n + fe + a-3) ^
2k + n — 3 * -' *¦ Чп-л)-
л — З /1—3
Ho Ck^ , (cos срл_2) ?= ф"-1. *+• и ^ , (cos cp„_g) ?= ^л"1- *-*. При этом, если о — нецелое число, то коэффициенты при многочленах Гегенбауэра в формуле (5) отличны от нуля.
з
2
*) При 4 = 0 мы считаем Ck _ ] (cos <рл^2) = 0
510 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. X
Из разложения (1) вытекает, что если % содержит сумму ненулевых функций из подпространств ф""1-* 1 и <5" 1,А+1> т0 оно содержит и эти подпространства.
Итак, мы доказали, что если о не является целым числом, то инвариантное подпространство X вместе с каждым подпространством *’* содержит подпространства и (при k=0 —
подпространство *и). Поэтому X содержит все подпространства фл_1,т и, следовательно, совпадает с I*2 (S'1"4). Неприводимость представления Т1* (g) (а значит, и Sna (g)) доказана.
4. Приводимость представления Tna(g) при целых значениях а.
Рассмотрим теперь случай, когда з = k — целое неотрицательное число. Покажем, что в этом случае представление Tnk(g) приводимо. Именно, инвариантным подпространством в 2i(Sn 2) является пространство 51п-1> * многочленов степени k от переменных ... , ,.
В самом деле, очевидно, что эго подпространство инвариантно относительно преобразований Тлк (h) F (|F) = F(hr1|'), соответствующих элементам h(?SO(n—1). Возьмем теперь гиперболическое вращение gn_i(а) в плоскости (хп, хпЛ). Если F(;„ ..., — многочлен степени ? от л, то и
тпк \gn A О)] F • • • > tn l) = (ch а — ^п-л sli V)k X
w р I______?1_______ ______S/г—a___ S/i—i Д sh a \ ,,.
^ \ ch а — Ел-! sh а ’ ’ ch а — sh а ’ ch а — sh a j ’
является многочленом от ... , 1пЛ той же степени.
Инвариантное подпространство 31л_1> k является прямой суммой подпространств 4?л 1,;> 0 =<:/:<:?. Это вытекает из доказанного в п. 6 § 2 главы IX разложения однородных многочленов, и из того, что любой многочлен степени k может быть представлен в виде суммы однородных многочленов степени j, O^j^k.