Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
1 1
5 С?(х) Срт (х) (1 - 2dx = 0. (4)
—1
В случае же 1 = т из формул (I), (2) и (3) вытекает, что
|[C?(cos0)f sin ар0 dQ - 22р~Ч1 (I -f р) (р)
(мы использовали формулу удвоения для Г-функции). Иначе,
Из равенств (4) и (5) следует, что многочлены
2'м rW[f®Tp]^(4 '=0' 1...... (б)
образуют ортогональную нормированную систему на отрезке
[—1, 1] относительно веса о(л:) = (1—лг2)Р 2 •
Обозначим через пространство функций ср(лг), таких, что
1 __________________i_
^ [ ср (jtr) |2 (1—лг2)Р 2 dx оо.
— 1
Система функций (6) полна в этом пространстве. В самом деле, из результатов п. 5 § 4 главы 1 следует, что любая функция f(g) на группе SO(ri), имеющая интегрируемый квадрат модуля и такая, что
f (A, ghj =/ (§¦), Аь А3 g SO (п - 1), (7)
разлагается в сходящийся в среднем ряд Фурье по зональным сферическим функциям представлений Tnl (g)\
СО
f(s)= !>/№)• (8)
/=о
Здесь
at~h (ti, l)\f (g)i1[(g) dg. (9)
Из функционального уравнения (7) вытекает, что функция /(g) зависит лишь от угла Эйлера элемента g, f(g) = ср (cos 0л;-1).
При этом из того, что
5 !/(§)№< +°°.
458 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ rt-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IX
следует
1 _ _1_
^ | ср (л:) [4 (1—хг)П 2 dx<^~|-оо, (10)
— 1
т. е. функция ср(лг) принадлежит пространству S®.
Заменяя в разложении (8) f(g) на ср(лг), а зональные сферические функции их выражениями через многочлены Гегенбауэра, получаем после простых преобразований
ОО
с?(x)=^blCf(x), (11)
/ = о
где
bt = \ V (х) С? (х) (1 - dx. (12)
1
t р---------------------------------
Ряд (11) сходится в среднем относительно веса о(л:) = (1—л:2) 2
и для него выполняется равенство Парсеваля:
{W (х) I ¦¦ (1 - *•)'- ¦hx = [»,!¦• (13)
5. Разложение пространства гармонических многочленов
В этом пункте мы разложим пространство Jg>nl в прямую сумму подпространств S$nls, инвариантных относительно операторов Tnl (h), где h^SO(n—1). В п. 5 § 2 было показано, что пространство $п1 изоморфно фактор-пространству пространства однородных многочленов степени I по подпространству r29tn’ 1~2 многочленов вида r% (х), где г2=х! +... + Xi А (х) ? Я»-' -2:
Э1лг = фл; + г9тл';-2. (1)
С другой стороны, мы показали в п. 8 § 2, что является
прямой суммой подпространства r93Rn> 1~2 и подпространств xl~s '•s, состоящих из многочленов вида х1 —s hs (х'), где х' = (л:1, ... , хп л),
МхОЕ#-1-*:
i
ЩШ— ^ xl- sQn-l, *^.^«,/-2 (2)
5 = 0
Из равенств (1) и (2) вытекает, что любой однородный гармонический многочлен h(x) степени I может быть единственным образом представлен в виде
i
h (х) = 2 х1~ % (х ) -f г*Л (х), (3)
5 *0
§ 3] Зональные сферические функции 459
где As(x0 ? >?)л-1’s и fi (х) ? 3R"’ 1~2. Применяя к обеим частям этого равенства операцию гармонического проектирования, мы убеждаемся, что
Л(х)= 2 (4)
s —О
Многочлены H(xln~shs{x')) при фиксированном s образуют подпространство в $)nl. Обозначим это подпространство через &?nls:
$nls=H(xln-s?n-l, i)_ (5)
Из того, что каждый многочлен h(x), принадлежащий j?>nl, может быть единственным образом записан в виде (3), вытекает, что Jg>nl является прямой суммой подпространств jQnls, O^ssg:/,
ъя1='Е1фя1^ (в)
5 = 0
Мы знаем, что подпространства xl~s^n~*• s инвариантны относительно операторов Lnl (/г)/(х)=/(/Г1х), h ? 50 (я— 1) (см. п. 8 § 2). Отсюда без труда вытекает, что подпространства lQnls (т. е. гармонические проекции пространств xl~s$n~1' s) инвариантны относительно операторов Tnl (h), h?SO(n—1).
Подпространства J?>nls можно определить непосредственно, не прибегая в явной форме к гармоническому проектированию. Вычислим для этого гармоническую проекцию многочлена xln~shs(x'). Применяя формулу (15) п. 5 § 2, получаем
