Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
/!Г (—1=1, s ¦*» = Ñё 2 7 + ^ <х>’
2‘Г Х '
гДе /i (х) 6 Ш"’г —2, и умножим обе части равенства (7) на хп. Так
л-2
Хп
как rlCt 2 y-yj — гармонический многочлен степепи I, то, согласно п. 3 § 2, многочлен
л-2
л — 2 drt, 2
---- ' Хп \ 1 Г1 [ \ Г
Хп^С, 2
г
п-\-21 — 2 дхп
является гармоническим. Следовательно,
§ 3] ЗойальНЫе сфёрИческйе фуНкциИ 455
Но г2 = A'j + • • • + хп>и потому fr —- —. Принимая во внимание фор-
uXfi Т
мулу (4), получаем после простых преобразований
НХГ'-
/IГ (п~Л п—2
_ (я _ 2) г! 1 (г2 - х%) Cl-. (-Т-) ] ¦ (8)
С другой стороны, по формуле (4) п. 1
(/4-Dir/’"— -) п~2
Hxl + l =---------^ic з (?л\ (9)
2^г(/ + |) 1 + х \ г !
Сравнивая формулы (8) и (9) и положив в них xn = t, r = 1,
п—2 = 2р, получим
(/ + 1) С?+, (0 = (2/7+0 tcf (0 - 2/7 (1 - о с?+,1(0. (10)
Заменим в этом равенстве /> на /7+1, / на I—1 и исключим из равенств (5) и (10) член, содержащий (1 —Р) Cf+2(t). Мы получим сле-
дующее рекуррентное соотношение
(2р + 0 СР1 (0 = 2р [С?+1 (0 - tcft! (0]. (11)
3. Частные случаи и частные значения многочленов Гегенбауэра. Из равенства (3) п. 1, определяющего многочлены Гегенбауэра, видно, что
С?(0 = 1. (1)
Приведем значения многочленов Гегенбауэра для m = 1, 2, 3:
CP(t) = ‘2pt, (2)
ст = *р<р+ !)[<*- J+-], (3)
С?(0 = 4р&’+1)0 + 2)[С-2+-(]. (4)
Далее, из равенства (3) п. 1 следует, что в многочлен Гегенбауэра СРЯ (t) входят лишь степени t, показатели которых имеют ту же четность, что и т. Поэтому имеем
CPm(-t) = (-l)mCPm(t) (5)
С%т+\ (0) = 0. (6)
456
ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. IX
Значение (%т (0) получаем из формулы (3) п. 2: рр /-„ч____________________( 1 )ffl Г (/? -(- и)
<-2т(о) г(/7)Г(т+1) • ( >
Нам понадобится в дальнейшем значение Cf (1). Чтобы найти его, воспользуемся формулой (10) п. 3. Из этой формулы вытекает, что
С1(\) = 2р+-~-~ СГ,(1) (8)
и, следовательно,
Cf(l)—С9) ПТ(2р) ' ^ }
Подставив это выражение в формулу (6) п. 2, получим
п— 2
?»/ (&) = г|Г{Пп-2) ^ - ^°>
4. Соотношения ортогональности для многочленов Гегенбауэра.
Из установленной связи между многочленами Гегенбауэра и зональными сферическими функциями вытекают соотношения ортогональности для многочленов Гегенбауэра. В самом деле, по формуле (1) п. 1 имеем при |=g?„
?nia) = (Tnl(g)eu е,). (1)
Таким образом,
«р» i(l) = ni(g)> (10
где \=g%n и — матричный элемент представления Tnl (g) (соот-
ветствующий базисному вектору ej). Из соотношений ортогональности для матричных элементов неприводимых унитарных представлений компактных групп (см. п. 3, § 4 главы 1) следует, что
\tf1(g)W(g)dg=f^1y, (2)
где Ьш — символ Кронекера, а
А(я, 0= <3>
размерность представления Tnl (g) (см. формулу (11) п. 5 § 2).
Из формул (1) этого пункта и (10) п. 3 видно, что функции t"((g) зависят только от координаты ?л вектора или, что то жё,
от сферической координаты этого вектора. Координата 0есть не что иное, как угол Эйлера 0^zj вращения g (см. п. 3, § 1). Переходя в равенстве (2) к углам Эйлера и используя формулу (10) п. 3,
получаем при 1ф m
$Cf(cos0) Срп (с°!зе) sm^e м = о,
§ 3] ЗОНАЛЬНЫЕ сферические ФУНКЦИИ 457
^___2
где для краткости положено р=—g—. Иными словами,
