Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
При ee = g, — 1<а<1, — а — l<^Re]j.<l — a, Rejjl<О
л= И?^1Г(_1х) (?=Лу. (12)
Далее, при лг^лг^О и ^<У<С^
лх л2
a~\-ico
Ji= \ е ” (Ху) К„ (х2) d; = те- ™ (х), (13)
а— /со
где х и ср задаются формулами (7) и (7').
При ^>^>0, — 1 < Re |х < 1
У, = ^-»П(4 (14)
При лг!>-л:2>.0, ее<^, — l<Re|i.<l
Л-!
;, = -ус«д;1,(4 (15)
где jc и ср задаются формулами (9) и (9').
При ее = ^, Re]j.<0
js=ir(-rt(?tii)'. (is»
При ее = ~, Rejj.>0
¦'•=P<rt(*F,w)'- <l7>
При jc±*>0, дга0 и ев<^^г, а—1 Reца-(- 1
Х1
а~\- ico
J3= $ е'*НЦ'.., (Xl) К, (*,) d> = 2е~^9К^(х), (18)
а— (оо
280 ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ и МАКДОНАЛЬДА [ГЛ. V
где
<19>
л:2 = xl — 2x^2 sh 0 — jcf, л: 0. (19')
При лг1>0, >0, е°>^, а — 1 <Re]j.<a-[- 1, — 1 <<Re jx< 1
Л !
J3 = r.ie (20)
где
it, х2 С*1 0 ,nn
? лг8 sh 0 * (^
xi = jcf -{- 2x^2 sh 0 — лг|. (2 Г)
пРие" = ~, a—1 < Re [a < a -(- 1, Rejj.>0
'•=г«Ыт*гГ- <22>
При atj^-O, лг2^>0, e°^>*L, a — 1 Re ц <^a -(- 1
a-f-foo
Jk = $ е*Н'*-ч{х1)КЛхд<1ч = — 24»К9.{х), (23)
a — izo
где
<24)
л:2 = xl —)- 2x^2 sh 0 — jq, jc0. (24')
При ЛГ!>0, лг2>-0, а— 1 < Re jj. < a + 1, — 1 <Ren< 1
X 2
Ji = Kle^N^(x), (25)
где
it, x2 ctl 0 mm
y = ^7sh6—x7’ (26)
jt2 = jq— 2x^2 sh0—лг|, лг^>0. (26')
При e° = x-, a—1 Re ц <^a -(- 1, Re|x^>0
•fa
'*=-гмЬй^Г- (*7>
7. Теоремы умножения. Применим к равенству (2) п. 6 формулу обращения Фурье. Мы получим
ОО
4- jj e*-*Kx(z)dB = KxMKA*J. (1)
— ОО
где <р, 2, 0, zv zt связаны формулами (3) и (3') п. 6.
§ 5] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 281
В частности, при Х = 0 получаем равенство
ОО
i- ^ e-*K9 (V z\ + 2ztz, ch 0 + zl) dQ = K.t (z,) K.t (*,). (2)
— 00
Напомним, что в этих формулах Rez,^>0, Rez^^-O и Re^^>0, где z = \/rzl~{-2z1z3ch6-\-.zl
Аналогично, из формулы (4) п. 6 получаем
00
± ^ eh?-*HL1'a,(x)dB = H,x1Li! ta) №’*’(*i). (3)
— 00
где ср, х, 6, JC], лг2 связаны формулами (5) и (5) п. 6, 0, х.2 О,
лг^>0. Верхний знак в этом равенстве относится к Н:,1'(х), а нижний— к H'f (х).
8. Взаимно обратные интегральные преобразования. Так как
QR(g) QR(g~1) = Е, то интегральные преобразования
а + 1оо
Ф(X) = 5 К(к, К R; g)F^)dy. (1)
О — 100
И
а + «со
F(k)= 5 к (К, к R, (2)
а — гоо
взаимно обратны. Но операторы QR(g) и Qj^ig1) одновременно являются интегральными лишь в унитарном случае (см. п. 3 § 3), т. е. при R = pI. Используя результаты п. 3 § 3, получаем следующие утверждения.
Интегральные преобразования
я+ь° (х-ц)1.г
Ф(Х) = -| в 2 (3)
a—ico
И
« + '~ (|л-Х)и|
F(X) = | ) е 2 f$U(x)<b(r)db (4)
а — ico
где —l<^Re(X — ^)<СЬ взаимно обратны при всех лг^>0.
282 ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ и МАКДОНАЛЬДА [ГЛ. V
Интегральные преобразования
Ф(Х) = Л ^ ^ K^(x)F(p)d? (5)
a — ( оо
И
<И-«оо _x)TCf
/•'(>0 = ^ 5 * 2 Кх Д-Г)ф(!1)^' ' (6)
