Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
$ *~ (х) dx, = Г (v — X) Кv (х2), (1)
о
где JCj, jc2, 0 и jc связаны соотношениями (6)—(6') п. 4 и Re v Re X. Точно так же доказывается, исходя из формул (10) и (12), что
[
j е^х\ + '‘-'н'л\ (х) dXl + ~ j е ~'J‘хх1+',-1К (*) dx =
где
I
Т**
= r(X+v)tf<V2). (2)
th 0 = % — х ’ х^ = — 2лг1лга -f-лг|, jc>0, (3)
til 0 = xi~xq ' Д.-2 _ 2XjXj — xl, x^> 0, (3')
и Rev^> — ReX, —l<^Rev<^l, —l<^ReX<^l. Из формул же (15) и (17) вытекает, что
§ 5] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 277
где
th 0= Xl , xi = —2x1xi + xI, лг>0, (5)
Л1 ла
th 0 = -3, х2 = 2лг,лг2—лг|, jc^>0 (5')
и Rev^> — ReX, —l<^ReX<^l, —l<^Rev<^l.
Далее, дополним в формуле (5) п. 4 контур интегрирования полуокружностью бесконечно большого радиуса, лежащей в левой полуплоскости. Вычисляя интеграл с помощью вычетов, получаем равенство
СО
2 Цгг'^-»(г!)=е^(г)’ ^
п = О
где Rezj^X), Rez2^>0, a zlt z.2> 0, z связаны формулами (6) и (6') п. 4.
Аналогично, из формулы (10) и (12) п. 4 получаем
у цр */й-.(*>={ А ес“ °<-<2^ Р)
«=° I с4,я!!1 (л), если 0 2хх лг2.
Значения 0, дг, 6, даются формулами (3) и (3').
Наконец,
? 1 f — ~е^Н^{х), если 0<х2<2х„
У|,^+п(^)= 2. (8)
п = о [ е Х(0 ”‘)Лгх (лг), если 0 2^ <^лг2.
6. Теоремы сложения. Выведем теперь формулы, аналогичные формуле сложения для функций Бесселя (см. п. 1 § 4 главы IV). С этой целью рассмотрим движение
g=g(r 1, 0, 0)g(0, 0, Q)g(rb 0, 0),
где ri^>0, г2^>0. Это движение можно представить в виде
g = g(0, 0, <р)g(r, 0,.0)g(0, 0, 0—<р),
где
th ср = ~-^-А—r2 = rj-[-2r1r2ch0-[-r|, r^>0.
Так как гиперболическому вращению на угол 0 соответствует оператор умножения на ехе, то
а i со
$ *(Х, v; R; g{rb 0, 0))КО, 14 R; g(rt(о, 0))e^-i‘>erfv =
= е<х-*»К(К |ч R; g(r, о, 0)). (l)
<ЬУЙКЦЙИ ГАНКЕЛЯ И макдоНАлЬДА [tVi. V
Подставим в эту формулу значения ядер. Тогда при Rezj^-O, Re2a^>0 будет выполняться равенство
О 4- / оо
$ ^-(^1 )КЛ^)е^ = ше^КЛг), (2)
а — ico
где
th?=Jh *+,;• т < im ^ < т ’ (3)
гг = г\ -)- 2ztz2 ch 0-)- z$, Rez^>0. (3')
При чисто мнимых значениях zt и z3> z1 = ±ix1, г^ = ±1х.г, лг^>0> лг2^>0, получаем
а~\- ico
5 М'-Л (*0 W'51 (л;а) сl0 d'l = ± 2<?XW (л:), (4)
a —ico
где — 1 <Са<С 1> — 1 <С Re ^ <!1» а — 1 <С Re (X — v) а -)- 1,
,, л*2 sh 0
th(P— л-2 che + A-/’ ^
х2 = х% —(— 2Х\Х% ch 0 —|— лг|, лг^>0, (5')
причем верхний знак относится к функции H\v (х), а нижний — к W' (х).
Рассматривая другие комбинации движений (например,
g(— гь 0, 0)g(0, 0, 0)g(rt, 0, 0), g{rb 0, 0)g(0, 0, B)g(0, га, 0) и т. д.), получим ряд новых формул, аналогичных установленным. Опуская их подробный вывод, укажем окончательные результаты.
При лг!>х2>0 и ^<е9< ^
Ajj
a -j-ioo
Л= $ е^н-‘\ Mи? (X,) ch = - Чс'^Н " (л;), (6)
a — ico
где —1 <1 Re ^ <1 1, ——а — l<^Re]x<^l—а, и
,, хв sh 0
th<P=^ch8-^> х2 = XI -)- jq — 2лг1лг2 ch 0, л: 0. (7')
При и е9^>-~
Л*з
Л = ^ е^К^х), (8)
где — 1 а 1, — а — 1 Re ^ 1 — а и
th _ XschQ — x^
т . xt sh 0 ’ 4 ’
л:3 — 2x^2 ch 0 — х\ — лг§, лг^>0. (9')
§ 5] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 279
При е°<^ —, —1<^а<^1, —а—1 Re jx 1—а,
¦^1
^ = К^(х) (10)
со значениями ср и х, даваемыми формулами (9) и (9').
При е* = — , —1<^а<^1, —а—1 Re jx 1—a, Re ^ О
'¦=тг«Ьt^iY- (П)
