Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
00
J x^1Kx(x)dx = 2-^v[-^jT^-\). (1)
Аналогично, из формулы (5) п. 2 вытекает, что
СО 2 ^х~1т(~)
\ х'* (*) dx = —--------- -----г-. (2)
J Г У__|_ 1 \
Г(Х-2 +
1) В формуле (2) верхний знак относится к (z), а нижний —к H'^](z).
274 ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ и МАКДОНАЛЬДА [ГЛ. V
Более общие формулы получаются следующим образом. Рассмотрим равенство
g{h, h, 0) g (г2, 0, 0) ==?•(>! -|- гд, rlt 0).
Если Г!^>0, г2^>0, то
^Oi+r* rly 0) = g(0, 0, 6)g(r, 0, 0)^(0, 0, — 0),
где
(3,
г2 = г? -)- 2г1г2 (3')
(см. п. 2, § 2).
Поскольку гиперболическому вращению на угол 0 соответствует оператор умножения на ехв, то при Re/?^>0 получаем
е^°К(К к R; g(r, 0, 0)) =
a~\-i оо
= 5 К (К v; R; g(rlt гъ 0))АГ(л ц; R; g(rit 0, 0))rfv, (4)
a — ico
где a^>ReX. Подставим в эту формулу значения ядер, вычисленные
в п. 5 § 3, и заменим X — ц на X, v — ц на ч, Rri на zt и Rr% на za.
Мы получим
а + i со
^Чх(^) = 2^ j Г (v-X)z,x X(^)rfv, (5)
а — / оо
где a^>ReA, Rezj^-0, Rez2^>0 и
th9=^Tv -тО»<т* (0)
z2 = Re z > 0 (6')
(эти условия определяют z и 0 однозначно).
В частности, при z1 = .Z9 получаем
^ а + i оо
3*/fx(z/3)=^ j r(v-X)z^’/f,(z)dv. (7)
а — / оо
Формула (5) сохраняет силу при чисто мнимых значениях zt и zs. Поэтому, полагая zl = ±ixl, zi = 4zixi, находим
а i оо
ехвМь2’(*)=2^ 5 r(v —Я) Jfj-’M1’*’(¦»») ^. (8)
а — /со
где
th 0 = Xj -j- 2X1X3, (9)
Л1 ~Т" Л8
ATj^-O, лга>0, a>ReX, — 1<^а<^1, — 1 Re X 1.
§ 61 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ !275
Формулу (8) можно вывести также, рассматривая движение
g(r\> гь 0)g(rt, 0, 0), rj> 0, га> 0,
при чисто мнимом значении R = ±tp и используя формулы п. 5 § 3. Аналогичные формулы возникают при рассмотрении движения
gih, гь 0)g{—h, 0, 0) = g(r1 — ri, rlt 0),
где Г!^>0, г2^>0. При г2<^2г! имеем
g(ri — г* гъ 0) = g(0, 0, 9)g(0, г, 0)g(0, 0, —9),
где th 0 ———, rl = 2r1r% — г\. Полагая R = ip и используя фор-
r 1
мулы п. 5 § 3, легко получаем отсюда
а + t оо
= J r(A+v)^vft,l)W*=^-)1xX(4 (10)
a — i оо
где JCj, лг2, лг, 0 связаны формулами
th 0 = ———, xi = 2лг1лг<1 — лг|, (11)
х1
О, 0 2xi, jc^>0, а^> — ReX, —1<^а<^1.
Если же лг2 2jcj 0, то получаем равенство
Ji = е^'х^Н{1\ (х), (12)
где
th0=———, лг2 = — 2jcjjc2 —(13)
X \ X 2
JC О, а а — Re X.
Наконец, при лг2 = 2лг1 получаем
Л = (14)
где ReX<^0, а^> — ReX.
Рассмотрим теперь движение
g(rit rlt 0)g(0, — r2, 0)=g'(r1, rt — r% 0).
При 0лг22xj и a^> — ReX, — 1 a 1, — l<^ReX<^l нахо-
дим аналогично
a ico
Л=2^ j r(X + vUrVv*'X(jc2)^ = — ^-е^х\н^(х), (15)
a — ico
где
th 0 =Xl ~x*, лл = 2лг1лга—лг|, лг^> 0. (16)
276 ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА ¦ [ГЛ. V
При 0 2xt <^х2, а^> — ReX, —1<^а<^1, —l<^ReX<^l имеем
^ = е-Щ~'1)х)Кх(х), (17)
где
thО = 1 у-, л'2 = — 2лг,х, + х], лг>0. (18)
Наконец, при х% = ‘2ху получаем
^ = Г(-Х)е^‘^2Х, (19)
где Re X О, а^> — ReX, —1<а<4.
б. Преобразования Меллина (продолжение). Сравним формулу (5) п. 4 с формулой обращения для преобразования Меллина (см. п. 2 § 4 главы II). Мы видим, что T(v—Х)/^^) является преобразованием Меллина для х^хеХ0К\(х) (как функции от JCj), т. е.
