Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
всех значениях v формулой
Uz) = -\;\H"{z)+H*(z)}. (7)
Эта функция является одним из частных решений уравнения (5) п. 3. Отметим еще одно частное решение этого уравнения, называемое
функцией Неймана. Оно определяется равенством
N,{z) = -~[m'(z)-H?'{z)]. (8)
Таким образом, имеют место формулы
Hll'(z) = J,(z) + tN,(z) (9)
И
Я.'2' (z) = J,l(z)-iN.Az). (90
§ 5. Функциональные соотношения для функций Ганкеля и Макдональда
1. Вводные замечания. В основе дальнейших рассмотрений лежит следующее замечание. Если QR(gi), 1= 1, 2, являются интегральными операторами с ядрами К(К К R, gi), то в силу
QK (gi&) = Qr (Si) Qr Ы (1)
§ 5] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 271
имеет место равенство
b + i оо
\ К (A, [J.; R; gigi)F(p)dp =
Ь — i со
b~\- ico а iсо
= $ К (к, у, R; ft)dv $ tf(v, W Я; (2)
b — I оо a — i оо
Поэтому, при условии абсолютной сходимости интегралов, входящих в равенство (2), имеем
a~\-ico
К (К щ R; gigd = \ К (к, v; R; gi) К О, ц; R; gj) afv. (3)
a — ico
При различном выборе элементов gj и g2 группы МН(2) мы получим из равенства (3) различные соотношения для функций Макдональда и Ганкеля.
2. Интегральное представление. Имеет место следующее равенство:
g(r, — г, 0)g(r, г, 0) = g(2r, 0, 0). (1)
В силу формулы (3) п. 1 из этого равенства при Re R 0 имеем К (к, W Rr, g(2r, 0, 0)) =
а * со
= $ К (К v; R; g(r, — г, 0)) К (v, R; g(r, г, 0)) dt. (2)
а — I со
Подставив в формулу (2) выражения для ядер, полученные в п. 5 § 3, получим
K^{z) = h J r(X-v)r(Ix-v)(-l)a,^rfv! (3)
a — ico
где Re 2 = Re 2Rr 0. При этом из условий сходимости интегралов, выражающих ядра операторов QR(g(r, —г, 0)) и QR(g(r, г, 0)) (см. п. 2 § 2) имеем ReX^>a, Rejj.^>a.
Заменяя в равенстве (3) X — ц на к и к — v на v, получаем
а~\- i со
*х(*) = 4й J гмг^-^^-рл, (30
а — tco
где Rez^>0, Rev^>0, Rev^>ReX.
272
ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА
[ГЛ. V
Чтобы получить интегральные представления функций Н\'(z) и Н\'(z), используем соотношения (4) и (4') п. 4 § 3:
где Im 2<^0, а^>0, а^> Re X.
Формулы (4) и (4') сохраняют силу при lmz = 0, г -ф 0. Поэтому при лт^>0 имеем
где х^>0, а^> 0, a^>ReX.
3. Разложение в степенные ряды. Дополним в формуле (5) п. 2 контур интегрирования полуокружностью бесконечно большого радиуса, лежащей в левой полуплоскости. Простая оценка показывает, что интеграл по этой полуокружности равен нулю.
Вычислим полученный интеграл с помощью вычетов. Согласно п. 5 § 1 функция Г (лг) имеет полюсы в точках л: = 0, — 1, — 2,..., — п, ..., причем
где lmz^>0, а^>0, a^>ReX, и
Л И = У [М1' (X) + /д3’ (X)] =
a --J- i со
а i со
Выч Г(*)=Ц^.
X = — п п'
Поэтому получаем
00
1 (Х\ — У (-1)" ?Х\^П
? п\Т(к + п+\)\2)
л= О
(1)
§ 5] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 273
Точно так же из формул (3'), (4) и (4') п. 2 получаем1)
MbS,(^) =
I 1 <2>
fc=-0 k = 0
Kx(z) =
со со
=т[2 + 2 (-|7-|>(Я'<3>
6 = 0 *==0
Из равенства (2) следует, что Nx(z) = ±l[W'(z)-H<{'(z)] =
ОО 00
1 Г ^ VI Г(—ft—X) / z\x+*ft ,
= ~jT[cos 2 fei Ы +2-4r-(2-) j- <4)
Формулы (1)—(4) показывают, что единственной особой точкой для цилиндрических функций является точка ветвления z = 0.
Разложения (2)—(4) верны лишь при нецелых значениях X. Если Х = я — целое число, то подынтегральная функция в интегралах (3')—(5) п. 2 имеет полюсы второго порядка.
4. Преобразования Меллина. В формуле (3') п. 2 заменим г на ‘2z и 2v на v, сравним ее с формулой обратного преобразования Меллина
(см. п. 2 § 4 главы II). Мы получим, что функция ~ Г^ —j Г ^—xj
является преобразованием Меллина для х~хК\ (2лг), и потому
