Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
При R = 1 оператор // переводит функцию F^) в —(jj.— 1). Оператор же Q(r, 0, 0), г^> 0 при R = 1 является интегральным
оператором с ядром -тЛ^Дг). Поэтому Q(r, 0, 0) переводит
F(l^) в
а ico
TZI
а — ico
Заменяя jj. — 1 на ц, убеждаемся, что Q(r, 0, 0)//_ является интегральным оператором с ядром
(1)
Точно так же доказывается, что ядро оператора в правой части формулы (9) п. 1 имеет вид
iP?;—<2>
Отсюда вытекает равенство
268 ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ и МАКДОНАЛЬДА [ГЛ. V
Заменяя X — (л на v, получим
(4)
Из аналитичности K„{z) в разрезанной плоскости вытекает, что это
соотношение справедливо при всех г, не принадлежащих отрица-
тельной полуоси
= (5)
Точно так же из формулы (10) получаем
КМ*)=-^аг-+тк'Ю- (6>
Из формул (5) и (6) следует, что
= +,(*) + *, _,(*)] (7)
И
у tfv (*) = у [tfv + i (г)1(8)
Пользуясь формулами (4) и (4') п. 4 § 3, получаем рекуррентные соотношения для функции Ганкеля:
dm- 21 (z) i
-~ъ = т ^ ' & ~ w+г (г)1 (9)
И
Y 2' (z) = 1 [H?L*j (z) + H<%*\ (z)]. (9')
Ясно, что эти формулы верны и для любой линейной комбинации функций Hi,1' {z) и Hi2' (г). Будем в дальнейшем обозначать такие линейные комбинации через 2V(z) и называть их цилиндрическими функциями от z с индексом v. Таким образом,
^L) = i[Z1.i(z)-Z1 + 1(z)] (10)
И
у Zv (z) = | [ Z, _, (г) + Zv +, (z)]. (10')
3. Дифференциальные уравнения для функций Макдональда и Ганкеля. В п. 2 было показано, что
-Й + т)*'’(*) = *,+! (*) (1}
И
-^—т) *•(*)=*->(*) (2)
§41 РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 269 Отсюда вытекает, что
[ъ+41) (I - т) к, и=к,«. (3)
Раскрывая скобки, получим следующее дифференциальное уравнение второго порядка для функций Макдональда:
d*Ky (г) , 1 dKy(z) z*_±J2kr,^_r.
dz3 + z dz z2 )
В силу инвариантности уравнения (4) относительно замены г на — г, функция К, (— z) также является решением уравнения (4).
Из соотношений (10) и (10') п. 2 аналогичным путем получаем дифференциальное уравнение второго порядка для цилиндрических функций
d*Z,(z). 1 dZv(z) . z2 —
dz2 1 z dz
¦Z,(z) = 0. (5)
Частными решениями этого уравнения являются функции Ганкеля Я!,11 {z) и Hi,2' (z), а также функции Н'" (— z) и Я!31 (— z).
4. Связь между функциями Ганкеля и функциями Бесселя.
В п. 4 § 4 главы IV было показано, что функции Бесселя Jn (z) удовлетворяют дифференциальному уравнению
y+|y+z^^ = o 0)
и, следовательно, являются цилиндрическими функциями от .г с индексом п. Поэтому они являются линейными комбинациями функций
Нп’ (z) и Нп' (z). Покажем, что имеет место равенство
Jn (-") = у ’ (*) + Н" (2)
Сначала покажем, что
Л С*) = у W' (*) + ЯГ С*)]- (3)
В п. 4 § 1 главы IV было отмечено, что уравнение Бесселя (1) имеет
единственное, с точностью до постоянного множителя, решение, огра-
ниченное при л; = 0. Поэтому для доказательства равенства (3) достаточно показать, что
I lim [я;11 (х) + ЯГ С*)] = Л (0) = 1. (4)
1 я-О
С21 б Функций гАнкеля и макдойальДа [ГЛ. V
Но по формулам (4) и (4') п. 4 § 3 имеем
СО
у № С*)+ ^0*’(¦*)] = 2^7 5 [eteeh<—e-i*ch<j^ =
— СО
* СО 00
= |JsinC*chO<ft=|- \ ™L=dy. (5)
О х Г У
со
Так как ^ dy = ~, то из равенства (5) вытекает равенство (4).
о
Тем самым доказано соотношение (3).
Так как функции Jn(x) и у [Нп1) (х)Н'п'(х)\ удовлетворяют
одинаковым рекуррентным соотношениям (см. формулы (9) и (9') п. 2 и формулы (2) и (3) п. 3 § 4 главы IV), то из равенства (3) вытекает, что
Л С*) = у№" С*) + Нпа> (х)] (6)
при всех целых значениях п.
Исходя из формулы (6), определим функцию Бесселя Jv(z) при
