Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
8. Следуя за идеями де Бройля, мы пришли к гипотезе, что с движущейся частицей связана волна, характеризуемая волновым Еек-тором k, который определяется импульсом частицы: p=1ik. Таким образом, длина волны, связанная с частицей, определяется выражением
Это выражение известно под названием длины волны де Бройля для материальной частицы. Заметим, что оно справедливо и для фотона.
Чтобы выяснить, как длина волны де Бройля зависит от параметров движущейся частицы, запишем выражение (8а) в виде
(8b)
тс vjc ’
Мы видим, что % уменьшается с возрастанием скорости V. При данной скорости v длина волны обратно пропорциональна массе частицы т.
9. Если Е означает полную энергию частицы, то
Ь- *?=, (9а)
|Л?2_т2с! у 1_(тс2/?)2
Это выражение показывает, что при данной массе т длина волны К уменьшается с возрастанием энергии Е. При^заданной полной энергии Е длина волны К растет с ростом массы т. При данной энергии наименьшую длину волны де Бройля имеет безмассовая частица:
(9Ь)
Поскольку это выражение следует из (9а) при тс2/Е= 0, оно приближенно справедливо в крайнем релятивистском пределе, когда скорость частицы v очень близка к с, илй, иначе говоря, когда полная энергия частицы много больше энергии покоя.
182
Если Т — кинетическая энергия частицы, то
Е — Т тс2.
(9с)
Подставляя это выражение для Е в (9а), получаем
1=----- -Нс - =—h ¦ ___________ 1,
УТ(Т +2mc2) }^2тГ >^1+Г/2тс2 '
При данной массе покоя m длина волны X уменьшается с возрастанием кинетической энергии Т. При заданной кинетической энергии Т длина волны X уменьшается при увеличении массы т.
В предельном случае, когда скорость частицы очень мала по сравнению с с, отношение Time2 становится очень мало. Полагая в выражении (9d) это отношение равным нулю, получаем следующее выражение для длины волны в нерелятивистском приближении:
% hlV2тТ « h/mv. (9е)
Мы могли бы, конечно, получить его и непосредственно из (8а).
10. Теперь следует выяснить, в какой степени идея де Бройля о существовании волн материи согласуется с опытом. Прежде всего нам следует убедиться в том, что эта идея не противоречит установившимся понятиям макроскопической физики.
Рассмотрим частицу, которая мала с макроскопической точки зрения. Допустим, например, что масса частицы m = 10-5 г и что частица движется со скоростью v=\ см/с. Воспользовавшись нерелятивистским приближением (9е), получим, что в этом случае длина волны де Бройля л « 6,6-10-22 см. Это невероятно малая величина. Ее малостью объясняется то, что волны материи (если таковые существуют) не проявляются в макроскопических явлениях — просто эти волны слишком малы, чтобы их можно было наблюдать. Чтобы понять, в чем тут дело, необходимо вернуться к оптической аналогии. Приближение лучевой, или геометрической, оптики оказывается тем более точным, чем меньше отношение длины волны света к характерным размерам оптического прибора. Чтобы волновые свойства света как-то проявились в оптическом приборе, мы должны создать такие условия, при которых какой-нибудь геометрический параметр прибора окажется сравнимым с длиной волны. Только в этом случае мы обнаружим отклонение от законов геометрической оптики, которое проявится в виде интерференционных или дифракционных эффектов. Аналогичным образом, чтобы обнаружить существование волн материи, мы должны иметь какой-то прибор, геометрические параметры которого сравнимы с длиной волны. Более конкретно, мы должны иметь какую-то специальную решетку, с помощью которой можно было бы обнаружить дифракцию волн материи.
11. Анализ формулы (8Ь) показывает, что если мы хотим иметь большую длину вйлны, нам следует воспользоваться наиболее легкими частицами, а именно электронами, движущимися с возможно меньшей скоростью. В этом случае для вычисления длины волны достаточно хорошо нерелятивистское приближение (9е). Переписав это выражение для частицы с массой электрона и кинетической
183
энергией Т, получим
% = ¦
(11а)
Таким образом, длина волны равна 1 А=10~8 см, если кинетическая энергия электрона равна 150,4 эВ. Тот же порядок величины
имеет постоянная кристаллической решетки. Поэтому, так же как и для рентгеновского излучения, кристаллическая структура может быть подходящей решеткой для волн материи.
Первые опыты такого рода были выполнены К. Дэвиссоном и J1. Джермерсм и независимо Г. Томсоном в 1927 г.*). В опытах Дэвиссона и Джермера изучалось отражение электронов от поверхности кристалла, тогда как Томсон наблюдал прохождение
электронов через тонкие кристаллические пленки.
