Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
107
As'i/Ztcos(0ot)
сила сопротивления воздуха), но не равны нулю, так что маятник может совершить несколько сот колебаний, прежде чем их энергия уменьшится в е раз по сравнению с начальной (время этих колебаний называется «средним временем жизни» колебательного состоя-
ния). Пусть интервал времени между двумя последовательными отклонениями маятника вправо равен 1 с.
Предположим, что нас интересует частота колебаний маятника. Недолго думая мы скажем, что частота равна 1 с-1. Это, несомненно, разумный ответ, но, строго
говоря, он неверен: под «частотой» мы понимает частоту повторения периодических явлений. Движение нашего маятника лишь приближенно можно считать периодическим, поскольку амплитуда колебаний уменьшается со временем. Частота затухающих гармонических колебаний точно не определена, хотя для практических целей мы вполне можем ее определить.
Атом, испускающий излучение, в некоторых отношениях похож на затухающий маятник. Процесс излучения не длится вечно, а это означает, что «колебания внутри атома» являются затухающими. У них нет точно определенной частоты, поскольку затухающее колебание не строго периодическое. Электромагнитное излучение, возникающее оттого, что «что-то в атоме колеблется», не будет монохроматическим. Линия испускания имеет конечную ширину.
20. Размышляя над рис. 19А, мы начинаем понимать, что чем меньше затухание, тем точнее определена частота. Действительно, неопределенность Асо в частоте обратно пропорциональна среднему времени жизни т.
Чтобы показать это, рассмотрим испускание и рассеяние света атомом в духе «осцилляторной модели» из п. 15. Допустим, что мы имеем дело лишь с двумя состояниями: основным и возбужденным, отстоящим от него по энергии на Дсо0.
Рассмотрим сначала атом непосредственно после того, как он был возбужден. Внутри него «что-то колеблется», и мы обозначим амплитуду этих колебаний через A (t). Допустим, что эти колебания следующим образом зависят от времени:
Рис. 19А. Экспоненциально затухающие колебания (зависимость смещения от времени). Процесс не строго периодический, поэтому неверно считать, что мы имеем дело с колебаниями, частота которых равна о)0. Если затухание не слишком велико, можно считать, что частота близка к о)0. Интуитивно ясно, что частота определена тем точнее, чем слабее затухание
А (t)=A ехр(—!a0t—t!2т),
(20а)'
где А — постоянная. Так в комплексном представлении зависит от времени амплитуда колебаний затухающего гармонического осциллятора со средней частотой со0.
108
Поскольку эти колебания совершаются заряженными частицами, то можно ожидать, что при этом будет испущено электромагнитное излучение (со средней частотой а>0) и амплитуда этого излучения будет зависеть от времени согласно (20а). Интенсивность I (/) испущенного излучения пропорциональна квадрату модуля амплитуды:
I{t)=C\A (it)\*=C\A\2 exp (—//т); (20b)
здесь С — некоторая постоянная. Таким образом, можно написать
I(t)—I (0) exp (—tlx). (20с)
Мы записали экспоненциальный распадный множитель в (20а) в виде ехр (—//2т), чтобы в выражении для интенсивности получить коэффициент exp (—tlx). Вопрос о том, как написать этот множитель,
S(cu)
Рис. 21А. Универсальная резонансная кривая. Она описывает отклик любой линейной (или приблизительно линейной) системы на гармоническую внешнюю силу вблизи резонансной частоты при условии, что по соседству от со0 нет других резонансных частот. Заметим, что в физике играют особенно важную роль две кривые «колоколообразного» типа: резонансная кривая и гауссова кривая. На первый взгляд они мало отличаются одна от другой, но нужно помнить, что гауссова кривая очень быстро приближается к нулю за пределами центральной области, тогда как у резонансной кривой имеется длинный «хвост»
т. е. как определить величину т, является делом условия. При нашем определении за время т интенсивность излучения уменьшается в е раз. Величина т измеряет продолжительность процесса, и можно интерпретировать т как среднее время жизни возбужденного состояния. «Большая часть распадов происходит за время порядка т».
21. Амплитуда колебаний А (t), выражаемая формулой (20а), удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка
dA (t)/dt+ (ш„+1/2т) А (/)=0. (21а)
Оно описывает осциллятор в отсутствие внешних сил. Предположим, что на осциллятор действует монохроматическая световая волна, имеющая частоту со. Уравнение (21а) следует изменить, добавив член, описывающий гармоническую внешнюю силу. В результате неоднородное дифференциальное уравнение, описывающее поведение осциллятора, примет вид
dA (t)ldt + {i(i>0-\-ll2x) A (i) = Fexp(—mty, (21b)
здесь F — постоянная, характеризующая вынуждающую силу.
109
Решение дифференциального уравнения (21Ь) для установивше гося режима (мы не рассматриваем процесс установления) имеет вид
