Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
*) Lattes С. М. G., Muirhead Н., Occhialini G. P. S., Powell С. F. Processes Involving Charged Mesons.— Nature, 1947, v. 159, p. 694; см. также: Lattes C. M.G., Occhialini G. P. S., Powell C. F. Observations on the Tracks of Slow Mesons in Photographic Emulsions.-— Nature, 1947, v. 160, p. 453.
**) Теория Юкавы изложена им в работе: On the Interaction of Elementary Particles (Proc. Phys. Math. Soc. Japan, 1935, v. 17, p. 48).
379
V(г). Коэффициент пропорциональности характеризует силу связи нуклона с пионным полем.
50. Волновое уравнение, которому удовлетворяет дебройлевская волновая функция пиона, представляет собой уравнение Клейна — Гордона, знакомое нам по гл. 5. Если массу пиона обозначить чертяг,, и воспользоваться системой единиц, где %=с= 1, то волновг уравнение примет вид
t)— V2^(at, t) = — т% г|з (x, t), (5^
где
r-2_ дг . д2 . д2
V ~~ дх* + дх\ + дхj {-ои1
— оператор Лапласа.
Волнозое уравнение (50а) описывает свойства мезонных вол де Бройля в отсутствие источников. В соответствии с нашей прс граммой постараемся теперь найти стационарное и сферическ симметричное решение этого уравнения, которое описывало б мезонное поле вне нуклона, расположенного в начале координат В данном случае мы имеем дело с точечным источником, а имени с нуклоном, расположенным в начале координат. Поэтому решени может не удовлетворять уравнению (50а) в начале координат, hi должно удовлетворять ему во всем пространстве. Мы принимаег это решение за потенциальную функцию и обозначаем его чере: V(r). Око не зависит от времени, поэтому первый член уравнени: (50а) , представляющий собой вторую производную по времени исчезает. Уравнение принимает вид
V2V (г) = m^V (г). (50с
51. Фтнкция V (г) зависит только от расстояния г = 1^x1 + +
и нам следует найти результат действия оператора Лапласа н, такую функцию. Заметим прежде всего, что
дг/дх1 = х1/г, (51а',
Применив правило дифференцирования сложной функции, получаем
dV(r) dV (г) dr _Xji У{г) (51Ь
дхх dr dxt г dr ' '
Дифференцируя еще^раз по хи получаем
д'У М д '(и dV (r)\ 1 dV(r) ,'xi d П dV(r)\
dxl ^ter\T~Sr)~T~dr+—d?\T^r)' l0ic'
и окончательно:
W-7T+'s(r^ > (Bid)
380
После простого преобразования правой части можно (51 d) записать в виде
V^(r) = lA(^M). (51е)
Это важное равенство описывает действие дифференциального оператора Лапласа на функцию V(r), зависящую только от расстояния г.
52. Мы пришли к обычному линейному дифференциальному уравнению второго порядка
Цн1{псль легко проверит подстановкой, что два линейно независимых решения этого уравнения имеют вид
г’1 ехр (— гт„) и г'1 expft-f rmn). (52Ь)
Общее решение может быть выражено в виде их линейной комбинации. Заметим, что второе решение отвечает потенциалу, который беспредельно растет при возрастании г, а это значит, что такое решение описывает внутринуклонные силы, которые растут с расстоянием. Ясно, что такое решение неприемлемо физически, и мы приходим к выводу, что потенциал должен быть пропорционален первому решению (52Ь), и получаем
V(r) = C'r~1ехр(—’гтп), (52с)
где С' — постоянная.
Мы отбросили второе решение, что является иллюстрацией важного принципа, с которым мы не раз сталкивались прежде: не каждое решение волнового уравнения квантовой механики имеет физический смысл. Физически приемлемое решение должно удовлетворять не только самому волновому уравнению, но и ряду граничных условий, одно из которых заключается в том, что решение не может безгранично возрастать на бесконечности.
53. Мы достигли теперь нашей цели, получив выражение для потенциальной энергии U(г) двух нуклонов, находящихся на расстоянии г друг от друга:
?/(/-) = CV"1 ехр. (— г/кп). (53а)
Здесь Кл=\/тя, а С — постоянная, характеризующая связь.
Благодаря экспоненциальному множителю потенциал U (г) очень быстро уменьшается с увеличением расстояния г. В качестве грубой оценки можно принять, что область действия потенциала имеет размер Хя. На расстояниях много больших потенциал становится пренебрежимо малым. Такая зависимость потенциала от расстояния была рассмотрена в п. 38 гл. 2.
Мы знаем теперь, что масса пиона равна 140 МэВ. Величина К„=1/тя — это комптоновская длина волны для пиона. (В системе СГС Хл=Д//ппс.) Численное значение Хя=1,4*Ю-1® см, и таков «радиус действия» ядерных сил. Юкава с самого начала знал, что этот радиус имеет порядок 10~13 см, и поэтому мог предска1зать,
381
