Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
14. Рассмотрим частный случай, имеющий большое значение. Пусть амплитуда рассеяния не зависит от угла рассеяния 0, т. е. /(0)=/=const. В этом случае дифференциальное сечение рассеяния постоянно, ae(0) = |/|2=const, и угловое распределение рассеянных частиц сферически симметрично. Такая ситуация характерна для рассеяния при малых энергиях. Нетрудно дать качественное объяснение этому явлению. Угловое распределение может быть быстро меняющейся функцией угла 0 в том случае, когда длина волны первичной частицы меньше размеров «объекта», на котором происходит дифракция. В дифракции принимают участие все «части» объекта, каждая из которых посылает свою дифрагировавшую
353
волну. В зависимости от относительной фазы этих волн в определенных направлениях будет происходить конструктивная или деструктивная интерференция. Если длина волны меньше размеров объекта, то небольшое изменение направления рассеяния может оказать значительное влияние на относительные фазы, что приведет к быстрому изменению дифференциального эффективного сечения с углом 0. Если же длина волны велика по сравнению с размерами объекта, «геометрические» интерференционные эффекты отсутствуют и амплитуда рассеяния лишь медленно меняется с углом. В предельном случае малых энергий, когда длина волны много больше размеров рассеивающего объекта, амплитуда рассеяння от угла не зависит и рассеяние сферически симметрично.
15. В случае /0)=/=const рассеянная волна
(х, t) = (Cf/x) exp (ixp—/со/) (15a)
связана с первичной волной только через параметр С, равный амплитуде падающей волны. В частности, амплитуда рассеянной волны не зависит от направления импульса pt. Этого и следует ожидать, если рассеивающий объект много меньше длины волны.
Заменим теперь плоскую волну (11а) ее средним, взятым по всем возможным направлениям pt. Мы рассматриваем, таким образом, новую задачу о рассеянии, в которой падающая волна имеет вид
'T/of*. t) = ~§dQpCexp(ix-n—i®t)- 05b)
О
Этот интеграл легко вычислить, если за угол 0 между векторами х и pt взять полярный угол вектора pt. Получаем
2 д гг
"Ф/o (¦*¦» 0 = ^9 j desine С exp (ixp cos 0—ml) =
[exp {ixp)—exp (— ixp)\ exp (— iat). (15c)
о о
С
Если рассеянная волна не зависит от направления первичного импульса, то первичная волна г};го образует ту же самую рассеянную волну, что и плоская волна (11а). Мы можем считать волну ipiu сферически симметричной частью падающей плоской волны. Лишь эта часть падающей волны создает сферически симметричную рассеянную волну гр5, определяемую формулой (15а).
16. Сферически симметричная часть приходящей волны имеет интересную форму. Рассматривая выражение (15с), замечаем, что оно является суммой расходящейся и сходящейся волн. Плоская волна «содержит» две такие волны, потому что она описывает как движение частиц к началу координат, так и движение, направленное от начала. Амплитуды обеих волн равны. Так и должно быть, ибо в противном случае выходящий поток отличался бы от входящего. Мы рассматриваем упругое рассеяние (в котором число частиц А сохраняется), и оба эти потока частиц А должны быть равны.
354
Рассмотрим теперь среднее значение (по сфере) выражения (13а) для случая /(0)=/=const:
Я)}0(дг, о ='ф,-о (х, 0+^Л-^. 0 =
= м1 + 2iM ехр Vxp)—'ехр(— ixp)] exp (_ iat). (16а)
Это выражение можно интерпретировать как асимптотическую
форму волновой функции, описывающей рассеяние в условиях, когда сферическая волна г|:;о играет роль падающей волны. Из (16а) следует, что волна 0 также состоит из сходящейся и расходя-
щейся волн. Если происходит упругое рассеяние, то модули амплитуд обеих волн должны быть равны, что приводит к важному условию
|l+2i>/| = 1 (16b)
для амплитуды рассеяния /.
Общее решение уравнения (16Ь) удобно записать в форме
^=TrV(e2'fl_1)’ (16с)
где б — некоторое вещественное число. Величина б носит название фазового сдвига (s-волны). В общем случае 8 зависит от импульса р.
17. Выясним, как велико может быть эффективное сечение для сферически симметричного упругого рассеяния. Дифференциальное эффективное сечение равно |/12, а полное эффективное сечение ае получается интегрированием дифференциального эффективного сечения по всем направлениям. Таким образом [имея в виду (16с)], получаем
ае = (я/p2) j e2i6—1 |3. (17а)
При заданном р это выражение максимально, если б= (л+1/2)я, где п — любое целое число:
Юта х = 4я/р2. (17Ь)
Эта формула написана в системе единиц, где %=1.
«Восстановить» постоянную Планка очень просто. Она должна быть возведена во вторую стеиень и стоять в числителе, так как эффективное сечение имеет размерность площади. В системе СГС или СИ
