Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
со — энергия*), С—-нормировочная константа. Волна дифрагирует на частице В. Можно догадаться, что волновая функция, описывающая дифрагировавшую волну на очень бол/шом расстоянии от начала координат, имеет вид
г|^(дг, t)ttCf(Q)x~1ex.p(ixp — Ш)\ (lib)
здесь х — расстояние от начала координат; р — первичный импульс, так что х = |лг| и p—\pi\. Функция /(0) зависит от угла 0 между направлениями вектора первичного импульса pt и вектора положения х (проведенного от начала координат в «точку наблюдения»).
*) Мы пользуемся системой единиц, в которой К=\.
351
Рассмотрим некоторые свойства волновой функции чтобы выяснить, при каких условиях она может соответствовать рассеянной волне. Амплитуда рассеянной волны пропорциональна амплитуде С приходящей волны, и наша догадка согласуется с разумным предположением о линейности системы. Частота со рассеянной волны совпадает с частотой приходящей волны, что означает сохранение энергии частицы А . Этого и следует ожидать для упругого рассеяния, когда положение частицы В фиксировано.
Множитель exp (ixp—ioat), очевидно, описывает сферическую волну, распространяющуюся наружу. Фазовая скорость в любой точке направлена от начала координат вдоль радиус-вектора. Именно таким свойством и должна обладать волна, испущенная рассеивающим центром. Множитель х~г в (lib) описывает уменьшение амплитуды рассеянной волны с расстоянием. Интенсивность волны пропорциональна квадрату модуля волновой функции. Интенсивность рассеянной волны измеряет поток вероятности, выходящий из начала координат (или, если угодно, поток частиц в последовательности повторяющихся опытов), и эта величина должна меняться с расстоянием, как х~2. Поэтому сама амплитуда должна быть пропорциональна х~г, как мы и предположили.
12. Из простых физических соображений следует, что волновая функция, описывающая рассеянную волну, имеет вид (lib). Функция /(0) называется амплитудой рассеяния. Очевидно, что она описывает угловое распределение рассеянных частиц. Мы хотим связать амплитуду рассеяния с дифференциальным эффективным сечением. Представим себе поверхность сферы радиусом х с центром в начале координат и рассмотрим небольшую часть dF этой поверхности, содержащую точку дг. Вероятность dP того, что испытавшая рассеяние частица пройдет через площадку dF, пропорциональна произведению dF на квадрат модуля волновой функции (at, t). Таким образом,
dP^k |г|?,(*, 0i2^-?|C|2|/(e)|2;e-2dF, (12а)
где k — некоторый фиксированный коэффициент пропорциональности. Величина dF/x^^dQ равна телесному углу, под которым малая поверхность dF. видна из начала координат. Поэтому
dPmtk\C\4f(Q)[*dQ\ (12b)
dP — вероятность рассеяния частицы в конус с малым пространственным углом dQ.
Рассмотрим теперь падающую волну (11а). Представим себе диск единичной поверхности, перпендикулярный к импульсу pi падающих частиц, центр которого находится в начале координат. Вероятность того, что первичная частица пройдет через этот диск, равна
Pi=m, |2 = k\C\\ (12с)
где k — та же постоянная, что и в (12а) и (12Ь)
352
Рассмотрим теперь последовательность повторяющихся опытов по рассеянию (где импульс частицы А в каждом опыте равен р{). Отношение числа частиц, рассеянных в конус, обнимающий телесный угол dQ, к числу частиц, падающих на единичный диск, равно отношению вероятностей (12а) и (12с):
dP/Pt = U(Q)\*dQ. (12d)
Вспоминая то, что было сказано в п. 7 о дифференциальном эффективном сечении, мы видим, что отношение dP/Pj равно произведению дифференциального эффективного сечения на телесный угол dQ, и получаем, что дифференциальное эффективное сечение просто давно квадрату модуля амплитуды рассеяния:
0е(в) = 1/ (0)12 (12е)
13. Чтобы найти теоретическое выражение для амплитуды рассеяния /(0), нам следует, разумеется, иметь явное решение нашей дифракционной задачи. Это означает необходимость найти решение уравнения Шредингера или, возможно, другого уравнения, более подходящего к рассматриваемой задаче. В нашей модели мы должны найти решение уравнения Шредингера с потенциалом, действующим на частицу А вследствие присутствия частицы В. Волновые уравнения квантовой механики имеют бесконечное число решений, и мы должны выбрать из них одно, описывающее опыт по рассеянию. Условия, налагаемые на искомое решение, заключаются в том, что на больших расстояниях от начала оно должно иметь вид
-vp (дг, t) г» С exp (ix-pt—mt)-\-Cf(Q)x~1exp(ixp—Ш). (13а)
Такая форма решения означает, что далеко от рассеивающего центра существуют плоская «падающая волна» и расходящаяся рассеянная волна. Мы не будем пытаться решать здесь эту задачу. Можно доказать для весьма общих условий, что при любом заданном импульсе существует единственное решение волнового уравнения, имеющее асимптотическую форму (13а). Таким образом, для данного импульса и заданного взаимодействия (потенциала) амплитуда рассеяния однозначно определена. Она зависит от импульса р, и можно, следовательно, записать ее в виде f (р\ 0). Если амплитуда рассеяния найдена, то известно и дифференциальное сечение рассеяния (12е).
