Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
где Н — дифференциальный оператор (54Ь).
Шредингеровская волновая функция я|з (х, i) зависит от времени i, и эта зависимость описывается уравнением Шредингера (56с). Отсюда средние значения хи р также зависят от времени, и нетрудно доказать, что эта зависимость удовлетворяет уравнениям (56а) и (56Ь). Действительно, нужно произвести дифференцирование под знаком интеграла, определяющего интересующие пас средние. Затем следует исключить производные по времени от я); и яр* с помощью уравнения Шредингера (56с) и сопряженного ему уравнения. После интегрирования по частям и группировки членов получаем результаты (56а) и (56Ь). Мы не приводим этих вычислений, так как они несколько утомительны, но вполне доступны для самостоятельной работы **).
57. Рассмотренная теорема, которую легко обобщить на случай трех измерений, имеет большое значение для понимания основных концепций квантовой механики. Она объясняет, в частности, почему классическая механика представляет собой предельный случай квантовой механики: обе теории эквивалентны, если можно
*) Ehrenfest P. Bemerkung iiber'die angenaherte Giiltigkeit deriklassischen Mechanik innerhalb der Quantenmechanik.— Zs. f. Phys., 1927, v. 45, p. 455.
**) Читатель найдет доказательство в книге: ШшрфЛ. Квантовая механика.— М.: ИЛ, 1957.
(56а)
(56Ь)
(56с)
335
пренебречь неопределенностью переменных, т. е. их статистическим разбросом.
Нам необходимо существование такого соответствия между классической и квантовой механикой, чтобы считать последнюю верной теорией, и теорема Эренфеста подтверждает наш выбор переменной импульса.
Идея о том, что классическую механику следует считать предельным случаем квантовой механики, является содержанием так называемого принципа соответствия Бора. Этот принцип имеет большое значение, ибо если квантовая механика претендует на полное описание явлений, то она должна описывать все физические явления, включая и те, которые имеют классическое объяснение. Исторически принцип соответствия был ведущим принципом на ранней стадии развития квантовой механики. Он накладывал ограничения на возможные новые теории, хотя, конечно, для однозначного выбора верной теории его недостаточно. В частности, принцип соответствия позволил с самого начала скептически отнестись к правилам «квантования», которые представляли собой предписания того, как нужно перейти от классического описания к квантовомеханическому. Очевидно бессмысленно указание следующего типа: «Чтобы найти верные (квантовомеханические) уравнения, будем исходить из неверных (классических) уравнений, снабдив их неким магическим правилом квантования». Более верный путь к истинным уравнениям физики заключается в основанной на экспериментальных фактах догадке, которая в свою очередь подвергается экспериментальной проверке.
58. Для каждой квантовомеханической переменной Q величина
AQ«J/Av (Q2) — [Av (Q)]3, (58а)
вычисленная для данной волновой функции, есть мера точности, с которой эта переменная Q известна в состоянии, описываемом волновой функцией. Переменная Q имеет в данном состоянии точное значение лишь в том случае, если AQ=0. В качестве примера рассмотрим переменную энергии Я. Ее значение точно задано для каждого стационарного состояния и равно Е — энергии этого состояния. Для нестационарных состояний ДЯ>0.
Принцип неопределенностей накладывает ограничение на точность, с которой одновременно могут быть известны две различные
переменные. Он имеет форму неравенства, связывающего AQ' и
AQ" для двух переменных Q' и Q". Равенства (49е) и (52d) дают нам определение величин Ах и Ар соответственно. С их помощью можно проверить, что соотношение
Ax*\p^h/2 (58b)
действительно выполняется для всех волновых функций и что существуют волновые функции, для которых соотношение (58Ь) имеет вид равенства. Мы не будем производить этих вычислений, так как и без них приобрели достаточно ясное качественное понимание смысла соотношения (58Ь).
336
Задачи
1. а) Вернемся к задаче о частице в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (рис. 4А). Рассмотрим волновые функции [выражение (6Ь)] для гс'=17 и п"= 18. Начертите график плотности вероятности [выражение (6с)], вычислив ее для моментов времени t=0, t=t0/4, /=/0/2, t—3t0/4 и i=t0, где t0=4ma2!35rik. Этот график демонстрирует периодическое движение частицы между стенками. Период движения равен t0.
б) Рассмотрите движение классической частицы с массой т и энергией Ес=
= (1/2) в той же потенциальной яме и сравните период движения с пе-
риодом /0.
в) Волновой пакет в части а) задачи не слишком концентрирован. Фактически он занимает около 1/2 размера ямы. Чтобы образовать хорошо локализованный в пространстве волновой пакет, лучше представляющий свойства классической частицы, необходима суперпозиция большого числа собственных функций. При этом, чем точнее определено положение частицы, тем менее точно известны ее импульс и энергия. Заметим, что энергия л-го уровня пропорциональна л2, тогда как разность энергий соседних уровней приблизительно пропорциональна п. Волновой пакет с высокой средней энергией может поэтому быть суперпозицией большого числа собственных функций, обеспечивающей как локализацию частицы, так и небольшой относительный разброс энергии. Мы встречаемся здесь с другим примером перехода к классическому пределу. Волновой пакет в потенциальной яме может вести себя подобно классической частице, если его средняя энергия высока по сравнению с энергией основного состояния.
