Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
51. Начнем с частного случая нормированной к единице волновой функции, которая в большом интервале имеет вид г|)(л:) = = С exp (ixp’!$?). Вне этого интервала волновая функция быстро падает до нуля. Для такой волны средний импульс очень близок к р', и можно написать Av (/?)«//. В рассматриваемом интервале
(51а)
и поскольку волновая функция нормирована к единице, то
+ оо
р'к, $ dx^*(x)(^ — ih-^^(x). (51b)
— 00
Мы предполагаем здесь, что- основной вклад в интеграл возникает от области, где выполняется равенство (51а). Для рассматриваемой волновой функции специальной формы можно найти средний импульс, вычислив интеграл (51Ь). Предположим теперь, что этот интеграл дает точно среднее значение для всех нормированных функций. Таким образом, постулируем'.
+ 00
Av(/7) = <ii)|/7]t>= 5 dx^*(x)( — ih^y!>(*) (51с)
— 00
для любой нормированной шредингеровской волновой функции гр(х). Наш постулат означает, что в теории Шредингера переменной импульса р отвечает дифференциальный оператор, действующий на волновую функцию, расположенную справа от него в интеграле (51с). Иными словами,
Р = -Л§-х. (51d)
52. Переменной квадрата импульса соответствует дифференциальный оператор
Р* =(52а)
333
и среднее значение квадрата импульса поэтому равно
со
Av (р2) = <-ф | рг 10j5> = j dx 1)3* (х) ^ — %2 \)5 (.v). (52b)
— оо
Совершенно аналогично формулам (49с) — (49е) найдем неопределенность Др значения импульса:
Д/? = |/ Av(p-p)-, (52с)
^ (Ap)2 = Av [(,о—р)2] = Av (р2) — [Av(p)]a, (52d)
где p=Av(p). Заметим, что те же соображения, которые привели нас к определению среднего значения импульса [формула (51с)], применимы и к определению среднего значения р2 [формула (52b)J.
53. Рассматривая выражения (49а), (49Ь), (491), (51с) и (52Ь), мы замечаем, что их структура одинакова: среднее значение квантовомеханической переменной Q определяется выражением
+ со
Av (Q) = <if> | Q j op) = J dx i}>* (x) (x); (53a)
— CO
здесь Q — либо дифференциальный оператор, действующий на расположенную справа от него волновую функцию, либо переменная х или х2, либо некоторая функция от х.
Формула (53а) выражает общую схему, с помощью которой определяется квантовомеханическая переменная в теории Шредингера. Среднее значение переменной Q равно интегралу в правой части (53а), где Q — некоторый линейный оператор, действующий на расположенную справа от него волновую функцию. (Для переменной координаты линейный оператор представляет собой «умножение на х».) Далее, среднее значение Q2 получается заменой в интеграле оператора Q оператором Q2. При этом Q^p(x) представляет собой результат повторного действия оператором Q на функцию i)’(x).
54. Рассмотрим новые примеры, иллюстрирующие эту идею. Кинетическая энергия Ек частицы с массой т описывается дифференциальным оператором
Е — ?l-_ — — /54а')
* 2т 2тдх*ш ' '
Полной энергии частицы отвечает оператор Н, представляющий собой сумму операторов кинетической и потенциальной энергий. В теории Шредингера оператор энергии имеет вид
H = & + = <54Ь> в согласии с рассуждениями п. 10 этой главы.
55. Читатель мог заметить, что до п. 51 у нас не было ясного понимания смысла импульса в теории Шредингера. Пока мы имели дело с волновой функцией вида exp(ixp/fi), было ясно, что р в экспоненте представляет собой импульс. Мы должны были, однако,
334
определить импульс р для общего случая люоой (нормированной) волновой функции Шредингера, и именно это было сделано соотношениями (51с) и (5Id).
Возникает вопрос: можно ли определить понятие импульса иначе? Тщательное исследование проблемы показало, что наше определение является единственным. Лишь оно удовлетворяет тому требованию, чтобы квантовомеханическая переменная импульса имела физическую интерпретацию, находящуюся в соответствии с понятием об импульсе в классической физике.
56. Разумный характер определения (51с.) среднего значения импульса может быть подтвержден следующей теоремой, принадлежащей П. Эренфесту. Мы приведем ее без доказательства *).
Средние значения квантовомеханических переменных удовлетворяют тем же уравнениям, движения, что и соответствующие классические переменные. В частности, из этой теоремы следует
если только волновая функция Шредингера i|:(x, t), для которой вычисляются указанные выше средние, удовлетворяет уравнению Шредингера
