Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
330
алюминия: волновой пакет она будет расположен гораздо ближе к ядру, чем волновой пакет электрона. Таким образом, мюон и ядро алюминия образуют водородоподобную систему — мюонный атом, окруженный «облаком» электронов.
Описанная схема образования мюонных атомов экспериментально подтверждена наблюдением электромагнитного излучения, испускаемого такими «атомами» *). Это излучение принадлежит рентгеновской части спектра, в чем можно убедиться, рассмотрев формулу (46Ь): приведенная масса р. в данном случае близка к массе мюона.
Один из подзаголовков гл. 5 гласит: «Существует лишь одна постоянная Планка».Заметим, что экспериментальное подтверждение предсказаний теории об уровнях энергии мюонных атомов является прекрасным доказательством универсальности формулы де Бройля.
48. Подведем итоги нашему рассмотрению водородоподобных «атомов». Такие системы состоят из двух частиц. Одна из них имеет заряд —е, другая -\~Ze. Не решая уравнения Шредингера для системы из двух частиц, описывающего поведение таких атомов, мы пришли к выводу, что их дискретные уровни энергии даются формулой
Еп = (aZ)2[ic2An, (48а)
где а — приведенная масса; а — постоянная тонкой структуры; безразмерное число Хп — собственное значение безразмерного уравнения Шредингера (43d) для одной частицы. Нахождение числа кп представляет собой чисто математическую задачу, решение которой приведено во многих курсах. Это число равно Хп =—1/2/г2.
Таким образом, зная спектр водорода, мы знаем также спектры дейтерия, однократно ионизованного гелия, дважды ионизованного лития и спектры всех мюонных атомов. Это возможно благодаря тому, что нам известна зависимость уровней энергии от соответствующих физических параметров: заряда ядра Z и массы обеих частиц. Наши рассуждения еще раз убеждают в силе простых соображений размерности.
Дополнительная тема: переменные положения
и импульса в теории Шредингера **)
49. Попытаемся теперь найти математические объекты, которые в простой теории Шредингера играют роль координаты и импульса в классической теории.
Пусть г|з(я, t) — шредингеровская волновая функция, нормированная к единице. В этом и следующем пунктах мы будем рассматривать волновые функции в данный, фиксированный момент времени. Поэтому будем игнорировать переменную t и для крат-
*) Fitch V- L., Rainwater J. Studies of X-rays from Mu-Mesonic Atoms.— Phys. Rev., 1953, v. 92, p. 789.
**) При первом чтении можно пропустить.
•II* Зак.
12?
331
кости будем писать^’ (х). Величина |^(a:)|2 дает плотность вероятности, определяющую распределение вероятности для переменной л:, поэтому средние значения х и х2 равны
+ се
Av (х) = х = <Цз ) л; | яр> = ^ dxx |яр (л:) |2, (49а)
— се + со
Av (х2) = х'г = <ф | л'2 J dxx21 г|) (л:) |2. (49Ь)
— со
Обозначение |л: |г^> эквивалентно выражению «ожидаемое значение х для состояния яр». Такие обозначения обычны для квантовой механики.
Если л: — среднее значение переменной х, то за меру неопределенности х можно принять корень из среднего значения квадрата отклонения от х:
Дл: = |/ Av(x-x)2, (49с)
или
+ со
(Ах)2= ^ dx(x — л: )21 ар (л:) |2 = Av (х2) — 2х Av (х) + х2. (49d)
— 00
Из последнего равенства следует
(Дх)2 = Av \{х—х)2] = Av {хг)~-[Av (х)]2. (49е)
Заметим, что чем больше волновая функция концентрируется около среднего значения х, тем меньше Ах. Состояние, для которого положение точно известно, т. е. состояние с Дл:=0, физически неосуществимо.
Среднее значение любой функции от л: вычисляется по аналогии
с формулами (49а) и (49Ь), которые дают средние значения х и х2.
В частности, среднее значение потенциальной энергии равно
+ се
Av (?пот) = Av (F (*)) = <яр | V (х) | = J dxV (х) | яр (х) j2. (49f)
— се
50. Постараемся тщательно обдумать значение сказанного. Вероятностная интерпретация шредингеровской волновой функции привела нас к понятию о среднем значении координаты частицы, определенном выражением (49а). Интеграл в правой части этого выражения позволяет найти численное значение среднего квантовомеханической переменной х, если известна волновая функция, описывающая состояние частицы. Но чему равно численное значение «самой квантовомеханической переменной х»? Ответ заключается в том, что квантовомеханическая переменная не может быть выражена численным значением: она определяется лишь той операцией, которую нужно совершить над волновой функцией, чтобы получить среднее значение.
332
Переменная координаты х является в теории Шредингера особенно простой переменной. В этом случае значение основного принципа, заключающегося в том, что квантовомеханическая переменная определяется через свое среднее (для всех состояний), оказывается несколько замаскированным. Символ х присутствует в качестве независимой переменной в волновой функции, и поэтому глубокий смысл определения (49а) не проявляется с достаточной ясностью. Рассмотрим, однако, такую квантовомехакическую переменную, как импульс (обозначим ее через р). Символ р отсутствует в волновой функции, поэтому позволено усомниться в существовании такой переменной. Чтобы решить этот вопрос, определим квантовомеханическую переменную импульса р, дав определенное предписание, как вычислить среднее значение импульса р для любого данною состояния. Реальная проблема сводится к тому, можем ли мы определить среднее значение импульса физически разумным способом.
