Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
45. Из приведенных выше математических свойств решения уравнения (43d) следует, что возможные значения энергии атома (в неионпзованном состоянии) равны
Чтобы удовлетворить любознательность читателя, приведем в явном виде решение уравнения Шредингера (42а) для основного состояния. В этом частном случае п= 1 и соответственно 1=0, что
*) Решение задачи атома водорода приведено во многих курсах квантовой механики. Впервые оно было дано Шредингером в первой статье из серии статей «Quantizierung als Eigenwertproblem» (Ann. d. Phys., 1926, v. 79, p. 361).
**) См. для сравнения обсуждение в п. 30, 31 и 54 гл. 3.
(44а)
(45а)
328
означает сферическую симметрию волновой функции, которая ИмеРТ вид
*..« = ]/':Jf“p(-f), (45b)
где ай=1Иатс. Читатель может убедиться, что волновая функция
1 = 00
L = 0 1=1 1=2 l~3 l?4
17 — со----------------------------
п=.е
П—5
n=3 —<=
id
ti~E
Серия ПерВпе Налонера Возбужденное
JJff
состояние
Серия ' Лаймана
Л=1
Cctr'oehoe состояние
-/3,6эВ Л = 1
Рис. 45А. Схема уровней атома водорода. С очень хорошим приближением энергия Еп уровня с главным квантовым числом п равна Еп =—Яц/п2$ где i?pj = (l+m/Af )-1/?оо = 13,5976 эВ. Вертикальными линиями показаны возможные электрические дипольные переходы. Эти переходы группируются в четыре серии, названные именами известных спектроскопистов. Вся серия Лаймана лежит в ультрафиолетовой области; серия Бальмера — в видимой области. На рис. 1В гл. 3 показан спектр водорода, на котором видны некоторые линии серии Бальмера
Рис. 45 В, Схема уровней водородоподобного атома. Каждая колонка уровней отвечает различным значениям квантового числа t орбитального момента импульса. Показаны все электрические дипольные переходы для значений главного квантового числа п<4. В этих переходах
I может меняться на единицу. Заметьте, что из состояния 2s электрический дипольный переход невозможен: это метастабнльное состояние. Сравните показанную схему уровней со схемами уровней для щелочных металлов (рис. 28 А н 32А гл. 3). Вы обнаружите много общего
Фю(лг) удовлетворяет волновому уравнению (42а) и что она нормирована к единице. Последнее означает, что взятый по всему пространству интеграл от квадрата волновой функции равен единице.
46. До сих пор наши рассуждения опирались на предположение, что ядро неподвижно. Нетрудно обобщить наши рассуждения на
11 Зал. 127
3291
случай движущегося ядра. Пусть М — масса ядра, am — масса электрона. Приведенная масса ji системы ядро — электрон равна
тМ (. . т \ ~1 i л с \
f-1- ~т + М -т[ 1+ ~м) (46а>
в соответствии с нашими рассуждениями в п. 36.
Задача о движении двух частиц в потенциальном поле, зависящем лишь от расстояния между ними, полностью эквивалентна задаче о движении одиночной (фиктивной) частицы с массой, равной приведенной массе системы, в исходном потенциальном поле, источник которого неподвижен. Чтобы принять во внимание движение ядра, нам следует поэтому заменить во всех формулах массу т на приведенную массу ji. При этом энергии уровней будут равны
Еп=—y (ccZ)2 fic2 (46b)
Эту формулу можно записать-, иначе:
En=-^Z*R„± (46с)
где
R^ = а2 тс-12 а* 13,6 эВ (46d)
— постоянная Ридберга.
Следует сразу же заметить, что для атома водорода (для которого т//И«1/1836) приведенная масса очень близка к массе электрона. Из формулы (46а) следует, что относительная разность обеих масс близка к 1/2000.
Заметим также, что приведенная масса атома дейтерия не совпадает с приведенной массой атома водорода. Поэтому спектр дейтерия несколько отличается от спектра водорода (см. задачу 7 гл. 2), и это различие легко наблюдаемо спектроскопически.
47. Наша формула (46с) дает уровни энергии любой «водородоподобной системы». Под этим названием мы понимаем систему из двух частиц противоположного знака заряда, связанных лишь силами электростатического притяжения. Полагая в (46с) Z=2, по-
лучим уровни энергии однократно ионизованного гелия. При Z=3 получаем из этой формулы уровни энергии двукратно ионизованного лития. Соответствующие значения приведенной массы (которые очень близки к массе электрона) следуют из формулы (46а), если вместо М подставить массу ядра гелия или лития.
«Атомы», в которых электрон заменен мюоном (мю-мезоном), известны под названием мюонных атомов. Они образуются, когда мюоны, замедлившиеся в веществе, захватываются кулоновским полем ядер. Заметим сначала, что боровский радиус «атома» обратно пропорционален массе «электрона». Это означает, что размеры мю-онного атома приблизительно в 200 раз меньше размеров обычного атома (масса мюона близка к 200 электронным массам). Предположим теперь, что мюон был захвачен, например, атомом алюминия. Испуская электромагнитное излучение, такая система быстро перейдет в состояние, при котором мюон окажется очень близко от ядра
