Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Это соотношение показывает, 4to условие, принятое в (17.21), действительно делает все si(iv вещественными: s*L = sL .
Суммирование по х в последнем выражении, так же как и в (15.27), должно производиться по всем целым числам; бесконечные значения факториалов в знаменателе ограничивают х промежутком между наибольшим из двух чисел 0 и-/—/ —|— р. —(— v и наименьшим из чисел Z- —(— р. —(— v и L—/+/, как и в гл. 15. Величины s по-прежнему зависят от двух чисел I и I наряду с их индексами L, [A, v; / и / служат для обозначения того, какое
именно произведение X может быть приведено с их помощью. Кроме того, s существенно не меняются'), если одновременно переставить I и /, с одной стороны, и [А и v, с другой. Это не видно непосредственно из выражения (17.27), так как суммирование по х не может быть выполнено в общем случае в замкнутом виде. В случае же [i-|-v = Z, из всей суммы не обращается в нуль лишь один член (x = L — / + 0 и мы получаем
Х1/ (2? + 1)1 (/ + /- L)l{I + ц)1 (L + I -t*)l
{L +1 +1 + 1)! (L + I -1)! {L -1 + /)! (/ - (л)! (/ - L + ц)
(17.276)
Представим теперь также в явном виде соотношения для s, которые следуют из унитарности матрицы S [соотношение (17.27) показывает, что S вещественна]:
У s\lT> S(/J) =3,,,,
- и (17.28)
$(/0, ,=8 „ m-\L L, jих'
') Числа l и l не входят в (17.21) совершенно одинаковым образом; следовательно, = (— l/ + '-i sfy.
230
Глава 17
8. Теперь мы определили все коэффициенты, которые входят в (17.166) и (17.18):
К = 2 4"! m-A^W (17.18а)
Следует заметить, что в (17.18а) мы имеем случай (разумеется, один из наиболее важных), в котором „правильные линейные комбинации” первого приближения теории возмущений могут быть найдены лишь из общих соображений; соотношение (17.18а) справедливо в самом общем случае для всех возмущений, не выделяющих направления в пространстве. Это следует из того известного нам с самого начала факта, что все правильные линейные комбинации „принадлежат одной строке некоторого неприводимого представления” и что только одна линейная комбинация может быть построена из функций (17.9), принадлежащих т-й строке представления если вообще она может быть построена
(т. е. если L лежит между 11—7| и / —(— /). С другой стороны, если другие собственные функции, кроме (17.9), принадлежат тому же собственному значению невозмущенной задачи, то возможно, что существует несколько линейных комбинаций с нужными свойствами, а „правильная” из них может быть линейной комбинацией только этих функций.
Формула (17.166) имеет много приложений. Прежде всего, она справедлива не только для вещественных представлений (для целых /), но и для двузначных представлений гл. 15. Она включает, в частности, формулы для интенсивности линий мультипле-тов и зеемановских компонент (см. гл. 23).
Ясно, что ©^(Z?)^. ®^(Я),.„ может быть выражено через коэффициенты представлений, так как они образуют полную си-стем'у функций. Очевидно также, что в формулу (17.166) могут входить только те коэффициенты, которые встречаются в некотором представлении в ((j/ + v')-fl строке и в (jx —j— v)-m столбце, так как только они имеют правильную зависимость от а и Кроме того, (17.166) показывает также, что L может изменяться между | /—'1\ и / —(— /. Если оба числа I и I — целые или полуцелые, то все L в (17.166) — целые; если, с другой стороны, одно из них целое, а другое — полуцелое, то все L — полуцелые. Суммирование всегда ведется целыми шагами от нижней границы до верхней.
При / = 0 формула (17.166) тривиальна; для / == :/2 и 1 коэффициенты приведены в табл. 3 и 4 ¦).
‘) Коэффициенты легко запомнить, если иметь в виду, что они обращаются в нуль при | | > I или | -f- ч | > L, т. е. во всех случаях,
когда один из коэффициентов представления в (17.22) теряет смысл.
Характеристики атомных спектров
231
ТАБЛИЦА 3
Коэффициенты векторного сложения s
(14,)
Z,|iv
L 1 I
2 ’“+Т
1-Т Yi + v- Yi --- v-
‘ + Y У 21 + \ У21+Х
yi-v. + 1 /Z + fi + l
У21 + Х У21 + \
ТАБЛИЦА 4 Коэффициенты векторного сложения
+ 1
1—1
I
/ + 1
1)
лГ(/ + fx) (/ + ц
V 21 (21 + 1)
Л/~ЦЕЕ±ШШ
V 21 (1+1)
¦ !)«(/—,•<• • 2)
(2/ + 1)(2/ + 2)
Y
1(21+1)
(2/+1)(/ + 1)
-(X — 1)(/ — (Х) 21 (21 +1)
(/+^+1ита 21(1 + 1)
ЛГ (/+t*+l)(/+t*+2) У (21+\)(21 + 2)
¦У
ПРИЛОЖЕНИЕ