Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
имеют обратные только в том случае, если их определитель
не обращается в нуль. Для прямоугольных матриц с различным числом строк и столбцов обратная матрица не определена вовсе. Если at есть матрица, являющаяся квадратной лишь в широком смысле, то из равенства
{3at = 1
следует, что разметка столбцов {3 совпадает с разметкой строк матрицы at. Кроме того, разметка строк матрицы 1 должна совпадать с разметкой строк {3, а ее столбцов — с разметкой столбцов at. Поскольку 1 является квадратной в собственном смысле слова, разметка столбцов at должна совпадать также с разметкой строк (3.
Строки матрицы {3, обратной матрице at, размечаются элементами того же множества, что и столбцы at; ее
столбцы — теми же элементами, что и строки at. Для всякой матрицы at, являющейся квадратной в широком смысле и имеющей отличный от нуля определитель, существует такая обратная матрица (3, что
(3at = 1. (2.4)
26
Глава 2
Кроме того,
*Р=1. (2.4а)
Следует, однако, заметить, что строки и столбцы матрицы 1 в (2.4) размечены иначе, чем матрицы 1 в (2.4а).
Теорема 7. Что касается сложения и нулевой матрицы, для прямоугольных и квадратных матриц справедливы одни и те же щ а зила. Однако степени прямоугольных матриц не могут быть построены, так как умножение at на at предполагает, что разметка столбцов at совпадает с разметкой строк at, т. е. что матрица at является квадратной матрицей в узком смысле.
Теоремы 8, 9 и 10. Для прямоугольных матриц понятия диагональной матрицы и следа не имеют смысла; преобразование подобия также не определено. Рассмотрим соотношение
aata-1 = р.
Из него следует, что матрицы (3 и а имеют одну и ту же раз-метку строк, которая совпадает с разметкой столбцов матрицы а-1 и поэтому также и столбцов матрицы р. Следовательно, матрица р является квадратной в узком смысле; аналогично, матрица at, разметка строк которой должна соответствовать разметке столбцов матрицы <з и разметка столбцов — разметке строк s_1, должна быть квадратной в узком смысле.
С другой стороны, сама матрица а может быть квадратной. в широком смысле: разметка строк и столбцов матрицы at отлична тогда от разметки строк и столбцов матрицы р. Преобразования подобия, которые меняют нумерацию строк и столбцов, особенно важны. Теория преобразований в квантовой механике является примером таких преобразований.
Введение прямоугольных матриц весьма выгодно, несмотря на кажущиеся усложнения, к которым оно приводит, поскольку с их помощью можно достигнуть существенных упрощений, Вышеизложенное не следует рассматривать как жесткую схему; скорее оно приведено для того, чтобы приучить читателя мыслить в терминах этих величин. Использование подобных- более сложных матриц будет всегда поясняться специально, за исключением случаев, когда разметка строк и столбцов очевидна из формы и определения элементов матриц, так что дальнейшие пояснения становятся излишними.
4. Довольно часто оказывается, что строки обозначаются не одним числом, а двумя или более числами, например:
a^b^C^d2
alb2cld1 a^b^c^d2 a^b^c^d^ a^b^c^d^
a^p\C\d^ a2bxcxd2 a2b^c2d^ a^b^c2d2
\a<J)2C\d\ a2b2Cid2 a2b2c2dj a^b^c^d^i
Y =
(2.E.1)
Обобщения
27
Первый столбец называется „столбец 1,1“, второй— „столбец 1, 2“, третий—„столбец 2, 1“, четвертый — „столбец 2, 2“; строки обозначаются аналогичным образом. Элементами матрицы (2.ЕЛ) являются
Ту; ki~aP]ctAi-
Для ясности записи точка с запятой отделяет индексы строк от индексов столбцов.
Среди таких матриц особенно важное значение имеет прямое произведение у двух матриц (aik) и ({Зуг):
Y = *XP- С2-5)
Равенство (2.5) равносильно равенству *)
Ту;м = ®/*Ря- (2-6)
Если а имеет пх строк и п2 столбцов, а матрица {3 — соответственно п[ строк и п'2 столбцов, то матрица у имеет точно п строк и п2п'2 столбцов. В частности, если а и {3 обе являются квадратными матрицами, то прямое произведение а X Р есть квадратная матрица.
Теорема 1. Если аа = а и {3(3 = |f и если *XP = Y и *XP = Y> т0 YY = *X? или
(at X Р) (* X Р) = ** X РР- (2-7)
Иначе говоря, матричное произведение двух прямых произведений есть прямое произведение этих двух матричных произведений. Чтобы показать это, рассмотрим
(* X Р)/4; i'ki — atl^kk'< X ?)/'*';/-*• — ai'f Р*'*'
и
х Р) («х Р),,. (.к. = 2 (2-8)
I R
Но
(««)„. = 2 (Р?)**. = 2 р**.р*-*-
i' k'
и
(** х PP)ift. а," = 2 аа'
i' k
