Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
2 S*Lm; = 2 Sim-, ^Ряфр.Ряф, =
p.v p.v
= 2sim:^(>vvV,. (17-2°)
(J.V
Поэтому, в силу линейной независимости произведений имеем
SLm-,v> = 0 при тф\у.~f-v. (17.20а)
Тот же самый результат получается из (17.16а), если учесть явную
зависимость коэффициентов представления от а и f, согласно (15.8), и приравнять члены, одинаково зависящие от а и j. Записывая ])
= (17.206)
]) Элементы матрицы S, а именно SL ^+v. дающие те ли-
нейные комбинации произведений ф^фМ, которые преобразуются по , известны как коэффициенты векторного сложения. Кондон и Шортли (см^ цитированную выше книгу этих авторов) обозначают их через
Характеристики атомных спектров
227
приводим (17.16а) к виду ®(0(Л),>©(Г)(Л),ч =
1+1
2 s?,v?>(i)(4'+v':,+vs^- (17Л66) i=lг-г I
Равенство (17.16) не определяет матрицу S однозначно. Поскольку M(R) коммутирует с диагональной матрицей
***1 г---7 / * 0 0 0
0 “if-Tl+i* ••• 0 0
0 0 wi+T-i* 0
0 0 0
и =
правая часть (17.16) не меняется, если S заменить на uS. Чтобы uS оставалась унитарной, и также должна быть унитарной; для этого абсолютные значения всех to должны быть равны 1. Элементы матрицы uS, которая будет входить вместо S, равны
р., = wlSlm; рт.
Соответствующим выбором матриц to можно всегда сделать так, чтобы элементы
^l, 1-7; i, -7 = sl, i, -1 = |si, i, -i | (17.21)
стали вещественными и положительными. В дальнейшем предполагается, что такой выбор уже сделан ’)¦ Умножим теперь (17.166) и проинтегрируем по всей группе. В силу соотношений ортогональности, справедливых для коэффициентов представлений, в правой части остается только один член; полагая L' = L ^и записывая h = j" dR^j, получаем
_ * f ®<l\R)^®M(R\4®(L\R);'+,,. ^+,dR (17.22)
Чтобы определить , нет необходимости вычислять интеграл в (17,22) при всех возможных значениях L, v', ji и v; достаточно найти его для одной пары значений [j/, V и при всех L,
‘) Этот выбор приводит к тем же самым коэффициентам векторного сложения, которые даны в цитированных выше книгах Е. Кондона и Г. Шортли, а также М. Роуза (см. обсуждение в Приложении А), и которые использовались Рака [О. R а с a h, Phys. Rev., 62, 438 (1942); Phys. Rev., 63, 367 (1943)]. Ниже мы увидим, что все получающиеся при этом коэффициенты вещественны, так что нет необходимости делать различие между S и S*.
228
Глава 17
[j,, v (и I, /). Чтобы по возможности упростить формулы, положим у/=1 и v' = — /, тогда, согласно (15.27а) и (15.276), получим
/(
21 \ 21
. S(-i)xf7+,x
I -(Л./ ' / - м I
, T^+_,+v)!(w-v)!a+/--/)!(A-./+/)1 w
(L — l + l — *)!(? + ц+ч — x)\x\(x + l — I — (X — V)! A
v > Г 2L+2l-l-2u—2x 1 q —2p.+2x 1 q л n i, —I L\it rj oo\
J yp-sin p yPdR=h—gZT+T"^' (17-23)
Как и следовало ожидать, а и f выпали.
Теперь нам понадобятся интегралы вида
J cos2a р sin2* р dR.
Они получаются также из соотношений ортогональности коэффициентов представления; эти соотношения имеют вид
2]ТХ={\ ®и) Щ. ?** = ( Д) / cosy+2^ | Р sin2'-2» 1 Р ад.
Тогда, если j-\-p=a, j — tx = ft,
J cos2*\ p Sin2*ipdR=g (a +b\a| 1}1.. (17.24)
Если подставить значение этого интеграла в (17.23), то найдем
2 (— 1)*+»+’ V(2l)l(2T)\(L + y + 4)\(L-p-4)\(L + l-7)\(L-l+T)\
(L + / +7+ 1)! V(l - (л)! (I + ц)! (7- v)! (7+ v)! w (A + r+ti-xJlfl-ti + x^+l) _s
(L — l + l — x)!(? + t* + v — х)Ы(х+/ —/ — (л — v)! L’l>
(17.25)
Чтобы определить sL ( _р положим \i~l, v= —/; тогда
2L+\ у (-\f{L + l-l)\(L-l+T)\{L+T+l — x)\ _
(? + / + /+1)! ^ (L — l+7—-b)\(L + l — l — x)\i.\
= \sL,i,-if = {sL,i,-T)\ (17.25a)
где при получении последнего выражения было использовано соотношение (17.21). В приложении к настоящей главе будет показано, что
S(-i)1 (?~/+/)=(2~о!(. ,2, i)- °7,2б)
» \ * ! (L + l — I — х)! + / — I/
Характеристики атомных спектров
229
(2i+l)(2/)!(2>. (17 27а)
х2
Пользуясь этой суммой в (17.25а), окончательно получаем
sl, i, -Г— \/~~{L + l + J+ 1)!(/+Т_А)! откуда, используя (17.25), находим
g{l, Т) = Ка + /-7)!д-/+Г)1(/+7-А)!(А + (х + у)!а-;х- У)1 + l +7 + 1)! (/ — fj.)! (/ -f- fj.)! (7 — v)! (7 + v)!
(_lj*+<+. Y2L + 1 (L+T+ ,x-7.)l(/-lx + -,)!
(L — / + / — %.)!(? +1* + v — %.) Ы (x -f- / — I — (J. — v)!